Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102189 / 96219
↖ ↑ ↗
← S 64.123791°
E100.670471°		 ← 133.30 m → S 64.123791°
E100.673218°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
S 64.124990°
E100.670471°		 ← 133.29 m →
17 766 m²		 S 64.124990°
E100.673218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779644012451172 y=0.734096527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779644012451172 × 217)
    floor (0.779644012451172 × 131072)
    floor (102189.5)     		tx = 102189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734096527099609 × 217)
    floor (0.734096527099609 × 131072)
    floor (96219.5)     		ty = 96219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102189 / 96219 ti = "17/102189/96219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102189/96219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102189 ÷ 217
    102189 ÷ 131072     		x = 0.779640197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96219 ÷ 217
    96219 ÷ 131072     		y = 0.734092712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779640197753906 × 2 - 1) × π
    0.559280395507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.75703118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734092712402344 × 2 - 1) × π
    -0.468185424804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.47084789104218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75703118} λ = 1.75703118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47084789104218))-π/2
    2×atan(0.229730616053035)-π/2
    2×0.225812523435026-π/2
    0.451625046870053-1.57079632675     		φ = -1.11917128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75703118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.670471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11917128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.123791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102189 KachelY 96219 1.75703118 -1.11917128 100.670471 -64.123791
    Oben rechts KachelX + 1 102190 KachelY 96219 1.75707912 -1.11917128 100.673218 -64.123791
    Unten links KachelX 102189 KachelY + 1 96220 1.75703118 -1.11919220 100.670471 -64.124990
    Unten rechts KachelX + 1 102190 KachelY + 1 96220 1.75707912 -1.11919220 100.673218 -64.124990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11917128--1.11919220) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dl = 133.281320000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11917128--1.11919220) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dr = 133.281320000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75703118-1.75707912) × cos(-1.11917128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436428227821473 × 6371000     		do = 133.296414439175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75703118-1.75707912) × cos(-1.11919220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436409405184538 × 6371000     		du = 133.29066552136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11917128)-sin(-1.11919220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436428227821473-0.436409405184538)×R²
    abs(1.75707912-1.75703118)×1.88226369353117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88226369353117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88226369353117e-05×40589641000000     		ar = 17765.5389569337m²