Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102187 / 96977
↖ ↑ ↗
← S 65.017666°
E100.664978°		 ← 128.97 m → S 65.017666°
E100.667724°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.018826°
E100.664978°		 ← 128.96 m →
16 630 m²		 S 65.018826°
E100.667724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779628753662109 y=0.739879608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779628753662109 × 217)
    floor (0.779628753662109 × 131072)
    floor (102187.5)     		tx = 102187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739879608154297 × 217)
    floor (0.739879608154297 × 131072)
    floor (96977.5)     		ty = 96977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102187 / 96977 ti = "17/102187/96977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102187/96977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102187 ÷ 217
    102187 ÷ 131072     		x = 0.779624938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96977 ÷ 217
    96977 ÷ 131072     		y = 0.739875793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779624938964844 × 2 - 1) × π
    0.559249877929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75693531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739875793457031 × 2 - 1) × π
    -0.479751586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.50718406095419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75693531} λ = 1.75693531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50718406095419))-π/2
    2×atan(0.221532923668859)-π/2
    2×0.218011989098667-π/2
    0.436023978197334-1.57079632675     		φ = -1.13477235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75693531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.664978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13477235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.017666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102187 KachelY 96977 1.75693531 -1.13477235 100.664978 -65.017666
    Oben rechts KachelX + 1 102188 KachelY 96977 1.75698324 -1.13477235 100.667724 -65.017666
    Unten links KachelX 102187 KachelY + 1 96978 1.75693531 -1.13479259 100.664978 -65.018826
    Unten rechts KachelX + 1 102188 KachelY + 1 96978 1.75698324 -1.13479259 100.667724 -65.018826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13477235--1.13479259) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13477235--1.13479259) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75693531-1.75698324) × cos(-1.13477235) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422338794153286 × 6371000     		do = 128.966231530479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75693531-1.75698324) × cos(-1.13479259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.422320447760598 × 6371000     		du = 128.960629238764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13477235)-sin(-1.13479259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422338794153286-0.422320447760598)×R²
    abs(1.75698324-1.75693531)×1.83463926877736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83463926877736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83463926877736e-05×40589641000000     		ar = 16629.7105438341m²