Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102185 / 96986
↖ ↑ ↗
← S 65.028104°
E100.659485°		 ← 128.94 m → S 65.028104°
E100.662231°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
S 65.029264°
E100.659485°		 ← 128.94 m →
16 627 m²		 S 65.029264°
E100.662231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779613494873047 y=0.739948272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779613494873047 × 217)
    floor (0.779613494873047 × 131072)
    floor (102185.5)     		tx = 102185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739948272705078 × 217)
    floor (0.739948272705078 × 131072)
    floor (96986.5)     		ty = 96986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102185 / 96986 ti = "17/102185/96986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102185/96986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102185 ÷ 217
    102185 ÷ 131072     		x = 0.779609680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96986 ÷ 217
    96986 ÷ 131072     		y = 0.739944458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779609680175781 × 2 - 1) × π
    0.559219360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75683943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739944458007812 × 2 - 1) × π
    -0.479888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50761549305077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75683943} λ = 1.75683943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50761549305077))-π/2
    2×atan(0.221437367869541)-π/2
    2×0.217920901654966-π/2
    0.435841803309931-1.57079632675     		φ = -1.13495452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75683943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.659485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13495452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.028104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102185 KachelY 96986 1.75683943 -1.13495452 100.659485 -65.028104
    Oben rechts KachelX + 1 102186 KachelY 96986 1.75688737 -1.13495452 100.662231 -65.028104
    Unten links KachelX 102185 KachelY + 1 96987 1.75683943 -1.13497476 100.659485 -65.029264
    Unten rechts KachelX + 1 102186 KachelY + 1 96987 1.75688737 -1.13497476 100.662231 -65.029264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13495452--1.13497476) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13495452--1.13497476) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75683943-1.75688737) × cos(-1.13495452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422173661326334 × 6371000     		do = 128.94270291902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75683943-1.75688737) × cos(-1.13497476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42215531337677 × 6371000     		du = 128.937098982947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13495452)-sin(-1.13497476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422173661326334-0.42215531337677)×R²
    abs(1.75688737-1.75683943)×1.83479495636241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83479495636241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83479495636241e-05×40589641000000     		ar = 16626.6764458809m²