Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102184 / 98856
↖ ↑ ↗
← S 67.110203°
E100.656738°		 ← 118.77 m → S 67.110203°
E100.659485°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
S 67.111272°
E100.656738°		 ← 118.77 m →
14 112 m²		 S 67.111272°
E100.659485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779605865478516 y=0.754215240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779605865478516 × 217)
    floor (0.779605865478516 × 131072)
    floor (102184.5)     		tx = 102184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754215240478516 × 217)
    floor (0.754215240478516 × 131072)
    floor (98856.5)     		ty = 98856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102184 / 98856 ti = "17/102184/98856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102184/98856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102184 ÷ 217
    102184 ÷ 131072     		x = 0.77960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98856 ÷ 217
    98856 ÷ 131072     		y = 0.75421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    0.5592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75679150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.5084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59725749534027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75679150} λ = 1.75679150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59725749534027))-π/2
    2×atan(0.202450980095963)-π/2
    2×0.19975115682905-π/2
    0.3995023136581-1.57079632675     		φ = -1.17129401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75679150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17129401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.110203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102184 KachelY 98856 1.75679150 -1.17129401 100.656738 -67.110203
    Oben rechts KachelX + 1 102185 KachelY 98856 1.75683943 -1.17129401 100.659485 -67.110203
    Unten links KachelX 102184 KachelY + 1 98857 1.75679150 -1.17131266 100.656738 -67.111272
    Unten rechts KachelX + 1 102185 KachelY + 1 98857 1.75683943 -1.17131266 100.659485 -67.111272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17129401--1.17131266) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dl = 118.81914999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17129401--1.17131266) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dr = 118.81914999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75679150-1.75683943) × cos(-1.17129401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388959897512747 × 6371000     		do = 118.773583893157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75679150-1.75683943) × cos(-1.17131266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388942716045193 × 6371000     		du = 118.768337325346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17129401)-sin(-1.17131266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388959897512747-0.388942716045193)×R²
    abs(1.75683943-1.75679150)×1.71814675540283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71814675540283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71814675540283e-05×40589641000000     		ar = 14112.2645846508m²