Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102184 / 96824
↖ ↑ ↗
← S 64.839597°
E100.656738°		 ← 129.83 m → S 64.839597°
E100.659485°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
S 64.840765°
E100.656738°		 ← 129.82 m →
16 856 m²		 S 64.840765°
E100.659485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779605865478516 y=0.738712310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779605865478516 × 217)
    floor (0.779605865478516 × 131072)
    floor (102184.5)     		tx = 102184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738712310791016 × 217)
    floor (0.738712310791016 × 131072)
    floor (96824.5)     		ty = 96824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102184 / 96824 ti = "17/102184/96824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102184/96824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102184 ÷ 217
    102184 ÷ 131072     		x = 0.77960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96824 ÷ 217
    96824 ÷ 131072     		y = 0.73870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    0.5592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75679150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.4774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49984971531232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75679150} λ = 1.75679150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49984971531232))-π/2
    2×atan(0.223163695714738)-π/2
    2×0.219565935657276-π/2
    0.439131871314552-1.57079632675     		φ = -1.13166446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75679150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13166446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.839597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102184 KachelY 96824 1.75679150 -1.13166446 100.656738 -64.839597
    Oben rechts KachelX + 1 102185 KachelY 96824 1.75683943 -1.13166446 100.659485 -64.839597
    Unten links KachelX 102184 KachelY + 1 96825 1.75679150 -1.13168484 100.656738 -64.840765
    Unten rechts KachelX + 1 102185 KachelY + 1 96825 1.75683943 -1.13168484 100.659485 -64.840765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13166446--1.13168484) × R
    2.037999999982e-05 × 6371000     		dl = 129.840979998853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13166446--1.13168484) × R
    2.037999999982e-05 × 6371000     		dr = 129.840979998853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75679150-1.75683943) × cos(-1.13166446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425153859697695 × 6371000     		do = 129.825845659703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75679150-1.75683943) × cos(-1.13168484) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4251354132415 × 6371000     		du = 129.820212812393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13166446)-sin(-1.13168484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425153859697695-0.4251354132415)×R²
    abs(1.75683943-1.75679150)×1.84464561956976e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84464561956976e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84464561956976e-05×40589641000000     		ar = 16856.3493431445m²