Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102183 / 96472
↖ ↑ ↗
← S 64.425408°
E100.653992°		 ← 131.85 m → S 64.425408°
E100.656738°		 →
↑
131.82 m
↓
↑
131.82 m
↓
S 64.426594°
E100.653992°		 ← 131.84 m →
17 379 m²		 S 64.426594°
E100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779598236083984 y=0.736026763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779598236083984 × 217)
    floor (0.779598236083984 × 131072)
    floor (102183.5)     		tx = 102183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736026763916016 × 217)
    floor (0.736026763916016 × 131072)
    floor (96472.5)     		ty = 96472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102183 / 96472 ti = "17/102183/96472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102183/96472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102183 ÷ 217
    102183 ÷ 131072     		x = 0.779594421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96472 ÷ 217
    96472 ÷ 131072     		y = 0.73602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779594421386719 × 2 - 1) × π
    0.559188842773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75674356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48297592664606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75674356} λ = 1.75674356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48297592664606))-π/2
    2×atan(0.226961262317692)-π/2
    2×0.223180414143512-π/2
    0.446360828287024-1.57079632675     		φ = -1.12443550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75674356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.653992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12443550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.425408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102183 KachelY 96472 1.75674356 -1.12443550 100.653992 -64.425408
    Oben rechts KachelX + 1 102184 KachelY 96472 1.75679150 -1.12443550 100.656738 -64.425408
    Unten links KachelX 102183 KachelY + 1 96473 1.75674356 -1.12445619 100.653992 -64.426594
    Unten rechts KachelX + 1 102184 KachelY + 1 96473 1.75679150 -1.12445619 100.656738 -64.426594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12443550--1.12445619) × R
    2.06900000001564e-05 × 6371000     		dl = 131.815990000997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12443550--1.12445619) × R
    2.06900000001564e-05 × 6371000     		dr = 131.815990000997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75674356-1.75679150) × cos(-1.12443550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431685778129078 × 6371000     		do = 131.847948232463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75674356-1.75679150) × cos(-1.12445619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431667115159063 × 6371000     		du = 131.842248081035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12443550)-sin(-1.12445619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431685778129078-0.431667115159063)×R²
    abs(1.75679150-1.75674356)×1.8662970015515e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8662970015515e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8662970015515e-05×40589641000000     		ar = 17379.2921409783m²