Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102182 / 98857
↖ ↑ ↗
← S 67.111272°
E100.651245°		 ← 118.79 m → S 67.111272°
E100.653992°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.112340°
E100.651245°		 ← 118.79 m →
14 107 m²		 S 67.112340°
E100.653992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779590606689453 y=0.754222869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779590606689453 × 217)
    floor (0.779590606689453 × 131072)
    floor (102182.5)     		tx = 102182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754222869873047 × 217)
    floor (0.754222869873047 × 131072)
    floor (98857.5)     		ty = 98857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102182 / 98857 ti = "17/102182/98857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102182/98857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102182 ÷ 217
    102182 ÷ 131072     		x = 0.779586791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98857 ÷ 217
    98857 ÷ 131072     		y = 0.754219055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779586791992188 × 2 - 1) × π
    0.559173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75669562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754219055175781 × 2 - 1) × π
    -0.508438110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59730543223989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75669562} λ = 1.75669562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59730543223989))-π/2
    2×atan(0.202441275456259)-π/2
    2×0.199741834269191-π/2
    0.399483668538383-1.57079632675     		φ = -1.17131266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75669562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17131266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.111272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102182 KachelY 98857 1.75669562 -1.17131266 100.651245 -67.111272
    Oben rechts KachelX + 1 102183 KachelY 98857 1.75674356 -1.17131266 100.653992 -67.111272
    Unten links KachelX 102182 KachelY + 1 98858 1.75669562 -1.17133130 100.651245 -67.112340
    Unten rechts KachelX + 1 102183 KachelY + 1 98858 1.75674356 -1.17133130 100.653992 -67.112340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17131266--1.17133130) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dl = 118.755440001151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17131266--1.17133130) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dr = 118.755440001151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75669562-1.75674356) × cos(-1.17131266) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388942716045193 × 6371000     		do = 118.793116866185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75669562-1.75674356) × cos(-1.17133130) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388925543655048 × 6371000     		du = 118.787871976218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17131266)-sin(-1.17133130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388942716045193-0.388925543655048)×R²
    abs(1.75674356-1.75669562)×1.71723901453702e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71723901453702e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71723901453702e-05×40589641000000     		ar = 14107.0174333632m²