Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102181 / 96237
↖ ↑ ↗
← S 64.145359°
E100.648499°		 ← 133.17 m → S 64.145359°
E100.651245°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
S 64.146557°
E100.648499°		 ← 133.16 m →
17 740 m²		 S 64.146557°
E100.651245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779582977294922 y=0.734233856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779582977294922 × 217)
    floor (0.779582977294922 × 131072)
    floor (102181.5)     		tx = 102181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734233856201172 × 217)
    floor (0.734233856201172 × 131072)
    floor (96237.5)     		ty = 96237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102181 / 96237 ti = "17/102181/96237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102181/96237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102181 ÷ 217
    102181 ÷ 131072     		x = 0.779579162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96237 ÷ 217
    96237 ÷ 131072     		y = 0.734230041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779579162597656 × 2 - 1) × π
    0.559158325195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75664769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734230041503906 × 2 - 1) × π
    -0.468460083007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.47171075523534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75664769} λ = 1.75664769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47171075523534))-π/2
    2×atan(0.229532475226976)-π/2
    2×0.225624307364583-π/2
    0.451248614729166-1.57079632675     		φ = -1.11954771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75664769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.648499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11954771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.145359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102181 KachelY 96237 1.75664769 -1.11954771 100.648499 -64.145359
    Oben rechts KachelX + 1 102182 KachelY 96237 1.75669562 -1.11954771 100.651245 -64.145359
    Unten links KachelX 102181 KachelY + 1 96238 1.75664769 -1.11956862 100.648499 -64.146557
    Unten rechts KachelX + 1 102182 KachelY + 1 96238 1.75669562 -1.11956862 100.651245 -64.146557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11954771--1.11956862) × R
    2.09099999999296e-05 × 6371000     		dl = 133.217609999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11954771--1.11956862) × R
    2.09099999999296e-05 × 6371000     		dr = 133.217609999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75664769-1.75669562) × cos(-1.11954771) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.436089508128864 × 6371000     		do = 133.165177463396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75664769-1.75669562) × cos(-1.11956862) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.436070691055625 × 6371000     		du = 133.159431443713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11954771)-sin(-1.11956862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436089508128864-0.436070691055625)×R²
    abs(1.75669562-1.75664769)×1.88170732386972e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.88170732386972e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.88170732386972e-05×40589641000000     		ar = 17739.5639418652m²