Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102180 / 98853
↖ ↑ ↗
← S 67.106998°
E100.645752°		 ← 118.81 m → S 67.106998°
E100.648499°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
S 67.108067°
E100.645752°		 ← 118.81 m →
14 117 m²		 S 67.108067°
E100.648499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779575347900391 y=0.754192352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779575347900391 × 217)
    floor (0.779575347900391 × 131072)
    floor (102180.5)     		tx = 102180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754192352294922 × 217)
    floor (0.754192352294922 × 131072)
    floor (98853.5)     		ty = 98853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102180 / 98853 ti = "17/102180/98853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102180/98853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102180 ÷ 217
    102180 ÷ 131072     		x = 0.779571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98853 ÷ 217
    98853 ÷ 131072     		y = 0.754188537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779571533203125 × 2 - 1) × π
    0.55914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75659975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754188537597656 × 2 - 1) × π
    -0.508377075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.59711368464141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75659975} λ = 1.75659975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59711368464141))-π/2
    2×atan(0.202480096806492)-π/2
    2×0.199779126978962-π/2
    0.399558253957924-1.57079632675     		φ = -1.17123807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75659975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17123807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.106998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102180 KachelY 98853 1.75659975 -1.17123807 100.645752 -67.106998
    Oben rechts KachelX + 1 102181 KachelY 98853 1.75664769 -1.17123807 100.648499 -67.106998
    Unten links KachelX 102180 KachelY + 1 98854 1.75659975 -1.17125672 100.645752 -67.108067
    Unten rechts KachelX + 1 102181 KachelY + 1 98854 1.75664769 -1.17125672 100.648499 -67.108067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17123807--1.17125672) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dl = 118.81914999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17123807--1.17125672) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dr = 118.81914999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75659975-1.75664769) × cos(-1.17123807) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389011431891322 × 6371000     		do = 118.814104454339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75659975-1.75664769) × cos(-1.17125672) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388994250829581 × 6371000     		du = 118.808856915843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17123807)-sin(-1.17125672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389011431891322-0.388994250829581)×R²
    abs(1.75664769-1.75659975)×1.71810617416446e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71810617416446e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71810617416446e-05×40589641000000     		ar = 14117.0791456527m²