Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102178 / 97564
↖ ↑ ↗
← S 65.689953°
E100.640259°		 ← 125.71 m → S 65.689953°
E100.643005°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.691084°
E100.640259°		 ← 125.70 m →
15 809 m²		 S 65.691084°
E100.643005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779560089111328 y=0.744358062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779560089111328 × 217)
    floor (0.779560089111328 × 131072)
    floor (102178.5)     		tx = 102178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744358062744141 × 217)
    floor (0.744358062744141 × 131072)
    floor (97564.5)     		ty = 97564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102178 / 97564 ti = "17/102178/97564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102178/97564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102178 ÷ 217
    102178 ÷ 131072     		x = 0.779556274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97564 ÷ 217
    97564 ÷ 131072     		y = 0.744354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779556274414062 × 2 - 1) × π
    0.559112548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75650388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.48870849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53532302103116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75650388} λ = 1.75650388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53532302103116))-π/2
    2×atan(0.215386105689603)-π/2
    2×0.212145177238052-π/2
    0.424290354476105-1.57079632675     		φ = -1.14650597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75650388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.640259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14650597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.689953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102178 KachelY 97564 1.75650388 -1.14650597 100.640259 -65.689953
    Oben rechts KachelX + 1 102179 KachelY 97564 1.75655181 -1.14650597 100.643005 -65.689953
    Unten links KachelX 102178 KachelY + 1 97565 1.75650388 -1.14652571 100.640259 -65.691084
    Unten rechts KachelX + 1 102179 KachelY + 1 97565 1.75655181 -1.14652571 100.643005 -65.691084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14650597--1.14652571) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14650597--1.14652571) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75650388-1.75655181) × cos(-1.14650597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411674165530237 × 6371000     		do = 125.709658884946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75650388-1.75655181) × cos(-1.14652571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411656175774034 × 6371000     		du = 125.704165496473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14650597)-sin(-1.14652571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411674165530237-0.411656175774034)×R²
    abs(1.75655181-1.75650388)×1.79897562032072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79897562032072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79897562032072e-05×40589641000000     		ar = 15809.3462799493m²