Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102177 / 97565
↖ ↑ ↗
← S 65.691084°
E100.637512°		 ← 125.73 m → S 65.691084°
E100.640259°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.692215°
E100.637512°		 ← 125.72 m →
15 804 m²		 S 65.692215°
E100.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779552459716797 y=0.744365692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779552459716797 × 217)
    floor (0.779552459716797 × 131072)
    floor (102177.5)     		tx = 102177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744365692138672 × 217)
    floor (0.744365692138672 × 131072)
    floor (97565.5)     		ty = 97565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102177 / 97565 ti = "17/102177/97565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102177/97565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102177 ÷ 217
    102177 ÷ 131072     		x = 0.779548645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97565 ÷ 217
    97565 ÷ 131072     		y = 0.744361877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779548645019531 × 2 - 1) × π
    0.559097290039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75645594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744361877441406 × 2 - 1) × π
    -0.488723754882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53537095793078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75645594} λ = 1.75645594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53537095793078))-π/2
    2×atan(0.215375780994944)-π/2
    2×0.212135310262057-π/2
    0.424270620524114-1.57079632675     		φ = -1.14652571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75645594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.637512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14652571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.691084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102177 KachelY 97565 1.75645594 -1.14652571 100.637512 -65.691084
    Oben rechts KachelX + 1 102178 KachelY 97565 1.75650388 -1.14652571 100.640259 -65.691084
    Unten links KachelX 102177 KachelY + 1 97566 1.75645594 -1.14654544 100.637512 -65.692215
    Unten rechts KachelX + 1 102178 KachelY + 1 97566 1.75650388 -1.14654544 100.640259 -65.692215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14652571--1.14654544) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14652571--1.14654544) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75645594-1.75650388) × cos(-1.14652571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411656175774034 × 6371000     		do = 125.730392111272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75645594-1.75650388) × cos(-1.14654544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411638194970895 × 6371000     		du = 125.724900311167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14652571)-sin(-1.14654544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411656175774034-0.411638194970895)×R²
    abs(1.75650388-1.75645594)×1.79808031388062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79808031388062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79808031388062e-05×40589641000000     		ar = 15803.9437556316m²