Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102176 / 96288
↖ ↑ ↗
← S 64.206377°
E100.634766°		 ← 132.90 m → S 64.206377°
E100.637512°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
S 64.207572°
E100.634766°		 ← 132.89 m →
17 662 m²		 S 64.207572°
E100.637512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779544830322266 y=0.734622955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779544830322266 × 217)
    floor (0.779544830322266 × 131072)
    floor (102176.5)     		tx = 102176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734622955322266 × 217)
    floor (0.734622955322266 × 131072)
    floor (96288.5)     		ty = 96288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102176 / 96288 ti = "17/102176/96288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102176/96288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102176 ÷ 217
    102176 ÷ 131072     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96288 ÷ 217
    96288 ÷ 131072     		y = 0.734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.46923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47415553711597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47415553711597))-π/2
    2×atan(0.228972003784899)-π/2
    2×0.225091821570841-π/2
    0.450183643141682-1.57079632675     		φ = -1.12061268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12061268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.206377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102176 KachelY 96288 1.75640800 -1.12061268 100.634766 -64.206377
    Oben rechts KachelX + 1 102177 KachelY 96288 1.75645594 -1.12061268 100.637512 -64.206377
    Unten links KachelX 102176 KachelY + 1 96289 1.75640800 -1.12063354 100.634766 -64.207572
    Unten rechts KachelX + 1 102177 KachelY + 1 96289 1.75645594 -1.12063354 100.637512 -64.207572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12061268--1.12063354) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12061268--1.12063354) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75645594) × cos(-1.12061268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435130890999766 × 6371000     		do = 132.900174380376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75645594) × cos(-1.12063354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435112109245155 × 6371000     		du = 132.894437949075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12061268)-sin(-1.12063354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435130890999766-0.435112109245155)×R²
    abs(1.75645594-1.75640800)×1.87817546110081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87817546110081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87817546110081e-05×40589641000000     		ar = 17661.9270664953m²