Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102168 / 99576
↖ ↑ ↗
← S 67.867265°
E100.612793°		 ← 115.05 m → S 67.867265°
E100.615539°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.868299°
E100.612793°		 ← 115.04 m →
13 237 m²		 S 67.868299°
E100.615539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779483795166016 y=0.759708404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779483795166016 × 217)
    floor (0.779483795166016 × 131072)
    floor (102168.5)     		tx = 102168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759708404541016 × 217)
    floor (0.759708404541016 × 131072)
    floor (99576.5)     		ty = 99576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102168 / 99576 ti = "17/102168/99576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102168/99576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102168 ÷ 217
    102168 ÷ 131072     		x = 0.77947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99576 ÷ 217
    99576 ÷ 131072     		y = 0.75970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63177206306671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75602451} λ = 1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63177206306671))-π/2
    2×atan(0.19558268201305)-π/2
    2×0.193144553130583-π/2
    0.386289106261166-1.57079632675     		φ = -1.18450722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18450722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.867265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102168 KachelY 99576 1.75602451 -1.18450722 100.612793 -67.867265
    Oben rechts KachelX + 1 102169 KachelY 99576 1.75607244 -1.18450722 100.615539 -67.867265
    Unten links KachelX 102168 KachelY + 1 99577 1.75602451 -1.18452528 100.612793 -67.868299
    Unten rechts KachelX + 1 102169 KachelY + 1 99577 1.75607244 -1.18452528 100.615539 -67.868299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18450722--1.18452528) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dl = 115.06025999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18450722--1.18452528) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dr = 115.06025999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75602451-1.75607244) × cos(-1.18450722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376753566522303 × 6371000     		do = 115.046233883061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75602451-1.75607244) × cos(-1.18452528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376736837238566 × 6371000     		du = 115.041125395019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18450722)-sin(-1.18452528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376753566522303-0.376736837238566)×R²
    abs(1.75607244-1.75602451)×1.67292837364164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67292837364164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67292837364164e-05×40589641000000     		ar = 13236.9556910607m²