Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102167 / 99574
↖ ↑ ↗
← S 67.865195°
E100.610046°		 ← 115.08 m → S 67.865195°
E100.612793°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.866230°
E100.610046°		 ← 115.08 m →
13 241 m²		 S 67.866230°
E100.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779476165771484 y=0.759693145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779476165771484 × 217)
    floor (0.779476165771484 × 131072)
    floor (102167.5)     		tx = 102167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759693145751953 × 217)
    floor (0.759693145751953 × 131072)
    floor (99574.5)     		ty = 99574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102167 / 99574 ti = "17/102167/99574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102167/99574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102167 ÷ 217
    102167 ÷ 131072     		x = 0.779472351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99574 ÷ 217
    99574 ÷ 131072     		y = 0.759689331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779472351074219 × 2 - 1) × π
    0.558944702148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75597657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759689331054688 × 2 - 1) × π
    -0.519378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63167618926747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75597657} λ = 1.75597657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63167618926747))-π/2
    2×atan(0.195601434166746)-π/2
    2×0.193162614330444-π/2
    0.386325228660887-1.57079632675     		φ = -1.18447110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75597657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.610046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18447110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.865195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102167 KachelY 99574 1.75597657 -1.18447110 100.610046 -67.865195
    Oben rechts KachelX + 1 102168 KachelY 99574 1.75602451 -1.18447110 100.612793 -67.865195
    Unten links KachelX 102167 KachelY + 1 99575 1.75597657 -1.18448916 100.610046 -67.866230
    Unten rechts KachelX + 1 102168 KachelY + 1 99575 1.75602451 -1.18448916 100.612793 -67.866230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18447110--1.18448916) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dl = 115.06025999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18447110--1.18448916) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dr = 115.06025999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75597657-1.75602451) × cos(-1.18447110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37678702472112 × 6371000     		do = 115.080455847771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75597657-1.75602451) × cos(-1.18448916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376770295683156 × 6371000     		du = 115.075346368971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18447110)-sin(-1.18448916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37678702472112-0.376770295683156)×R²
    abs(1.75602451-1.75597657)×1.6729037964347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6729037964347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6729037964347e-05×40589641000000     		ar = 13240.8932220443m²