Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102165 / 99069
↖ ↑ ↗
← S 67.336686°
E100.604553°		 ← 117.66 m → S 67.336686°
E100.607300°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
S 67.337744°
E100.604553°		 ← 117.66 m →
13 845 m²		 S 67.337744°
E100.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779460906982422 y=0.755840301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779460906982422 × 217)
    floor (0.779460906982422 × 131072)
    floor (102165.5)     		tx = 102165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755840301513672 × 217)
    floor (0.755840301513672 × 131072)
    floor (99069.5)     		ty = 99069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102165 / 99069 ti = "17/102165/99069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102165/99069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102165 ÷ 217
    102165 ÷ 131072     		x = 0.779457092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99069 ÷ 217
    99069 ÷ 131072     		y = 0.755836486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779457092285156 × 2 - 1) × π
    0.558914184570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75588070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755836486816406 × 2 - 1) × π
    -0.511672973632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60746805495934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75588070} λ = 1.75588070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60746805495934))-π/2
    2×atan(0.200394359783715)-π/2
    2×0.197774723176287-π/2
    0.395549446352574-1.57079632675     		φ = -1.17524688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75588070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.604553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17524688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.336686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102165 KachelY 99069 1.75588070 -1.17524688 100.604553 -67.336686
    Oben rechts KachelX + 1 102166 KachelY 99069 1.75592863 -1.17524688 100.607300 -67.336686
    Unten links KachelX 102165 KachelY + 1 99070 1.75588070 -1.17526535 100.604553 -67.337744
    Unten rechts KachelX + 1 102166 KachelY + 1 99070 1.75592863 -1.17526535 100.607300 -67.337744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17524688--1.17526535) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dl = 117.672370000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17524688--1.17526535) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dr = 117.672370000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75588070-1.75592863) × cos(-1.17524688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385315268201505 × 6371000     		do = 117.660652488078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75588070-1.75592863) × cos(-1.17526535) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385298224296954 × 6371000     		du = 117.655447926785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17524688)-sin(-1.17526535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385315268201505-0.385298224296954)×R²
    abs(1.75592863-1.75588070)×1.70439045510951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70439045510951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70439045510951e-05×40589641000000     		ar = 13845.1016179992m²