Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102163 / 99129
↖ ↑ ↗
← S 67.400100°
E100.599060°		 ← 117.37 m → S 67.400100°
E100.601807°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.401155°
E100.599060°		 ← 117.37 m →
13 774 m²		 S 67.401155°
E100.601807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779445648193359 y=0.756298065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779445648193359 × 217)
    floor (0.779445648193359 × 131072)
    floor (102163.5)     		tx = 102163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756298065185547 × 217)
    floor (0.756298065185547 × 131072)
    floor (99129.5)     		ty = 99129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102163 / 99129 ti = "17/102163/99129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102163/99129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102163 ÷ 217
    102163 ÷ 131072     		x = 0.779441833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99129 ÷ 217
    99129 ÷ 131072     		y = 0.756294250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779441833496094 × 2 - 1) × π
    0.558883666992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75578482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756294250488281 × 2 - 1) × π
    -0.512588500976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61034426893655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75578482} λ = 1.75578482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61034426893655))-π/2
    2×atan(0.199818810822909)-π/2
    2×0.197221333418298-π/2
    0.394442666836595-1.57079632675     		φ = -1.17635366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75578482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.599060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17635366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.400100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102163 KachelY 99129 1.75578482 -1.17635366 100.599060 -67.400100
    Oben rechts KachelX + 1 102164 KachelY 99129 1.75583276 -1.17635366 100.601807 -67.400100
    Unten links KachelX 102163 KachelY + 1 99130 1.75578482 -1.17637208 100.599060 -67.401155
    Unten rechts KachelX + 1 102164 KachelY + 1 99130 1.75583276 -1.17637208 100.601807 -67.401155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17635366--1.17637208) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17635366--1.17637208) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75578482-1.75583276) × cos(-1.17635366) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384293712436744 × 6371000     		do = 117.373191498806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75578482-1.75583276) × cos(-1.17637208) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384276706827005 × 6371000     		du = 117.367997547868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17635366)-sin(-1.17637208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384293712436744-0.384276706827005)×R²
    abs(1.75583276-1.75578482)×1.7005609739329e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7005609739329e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7005609739329e-05×40589641000000     		ar = 13773.8876234009m²