Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102162 / 96267
↖ ↑ ↗
← S 64.181268°
E100.596314°		 ← 132.99 m → S 64.181268°
E100.599060°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
S 64.182465°
E100.596314°		 ← 132.99 m →
17 691 m²		 S 64.182465°
E100.599060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779438018798828 y=0.734462738037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779438018798828 × 217)
    floor (0.779438018798828 × 131072)
    floor (102162.5)     		tx = 102162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734462738037109 × 217)
    floor (0.734462738037109 × 131072)
    floor (96267.5)     		ty = 96267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102162 / 96267 ti = "17/102162/96267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102162/96267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102162 ÷ 217
    102162 ÷ 131072     		x = 0.779434204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96267 ÷ 217
    96267 ÷ 131072     		y = 0.734458923339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779434204101562 × 2 - 1) × π
    0.558868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75573689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734458923339844 × 2 - 1) × π
    -0.468917846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.47314886222395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75573689} λ = 1.75573689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47314886222395))-π/2
    2×atan(0.229202620210492)-π/2
    2×0.22531093851982-π/2
    0.450621877039641-1.57079632675     		φ = -1.12017445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75573689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.596314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12017445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.181268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102162 KachelY 96267 1.75573689 -1.12017445 100.596314 -64.181268
    Oben rechts KachelX + 1 102163 KachelY 96267 1.75578482 -1.12017445 100.599060 -64.181268
    Unten links KachelX 102162 KachelY + 1 96268 1.75573689 -1.12019533 100.596314 -64.182465
    Unten rechts KachelX + 1 102163 KachelY + 1 96268 1.75578482 -1.12019533 100.599060 -64.182465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12017445--1.12019533) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dl = 133.026480000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12017445--1.12019533) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dr = 133.026480000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75573689-1.75578482) × cos(-1.12017445) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.435525417125852 × 6371000     		do = 132.992925489612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75573689-1.75578482) × cos(-1.12019533) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.435506621346987 × 6371000     		du = 132.987185972423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12017445)-sin(-1.12019533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435525417125852-0.435506621346987)×R²
    abs(1.75578482-1.75573689)×1.87957788646553e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.87957788646553e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.87957788646553e-05×40589641000000     		ar = 17691.1989895258m²