Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102161 / 96981
↖ ↑ ↗
← S 65.022306°
E100.593567°		 ← 128.97 m → S 65.022306°
E100.596314°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.023466°
E100.593567°		 ← 128.97 m →
16 639 m²		 S 65.023466°
E100.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779430389404297 y=0.739910125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779430389404297 × 217)
    floor (0.779430389404297 × 131072)
    floor (102161.5)     		tx = 102161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739910125732422 × 217)
    floor (0.739910125732422 × 131072)
    floor (96981.5)     		ty = 96981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102161 / 96981 ti = "17/102161/96981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102161/96981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102161 ÷ 217
    102161 ÷ 131072     		x = 0.779426574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96981 ÷ 217
    96981 ÷ 131072     		y = 0.739906311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779426574707031 × 2 - 1) × π
    0.558853149414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75568895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739906311035156 × 2 - 1) × π
    -0.479812622070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.50737580855267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75568895} λ = 1.75568895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50737580855267))-π/2
    2×atan(0.221490449335068)-π/2
    2×0.217971501392459-π/2
    0.435943002784918-1.57079632675     		φ = -1.13485332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75568895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.593567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13485332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.022306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102161 KachelY 96981 1.75568895 -1.13485332 100.593567 -65.022306
    Oben rechts KachelX + 1 102162 KachelY 96981 1.75573689 -1.13485332 100.596314 -65.022306
    Unten links KachelX 102161 KachelY + 1 96982 1.75568895 -1.13487357 100.593567 -65.023466
    Unten rechts KachelX + 1 102162 KachelY + 1 96982 1.75573689 -1.13487357 100.596314 -65.023466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13485332--1.13487357) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dl = 129.012750001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13485332--1.13487357) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dr = 129.012750001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75568895-1.75573689) × cos(-1.13485332) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422265398479802 × 6371000     		do = 128.970721807601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75568895-1.75573689) × cos(-1.13487357) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.422247042330239 × 6371000     		du = 128.965115367037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13485332)-sin(-1.13487357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422265398479802-0.422247042330239)×R²
    abs(1.75573689-1.75568895)×1.83561495633588e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83561495633588e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83561495633588e-05×40589641000000     		ar = 16638.5058395315m²