Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102160 / 99101
↖ ↑ ↗
← S 67.370528°
E100.590820°		 ← 117.52 m → S 67.370528°
E100.593567°		 →
↑
117.48 m
↓
↑
117.48 m
↓
S 67.371584°
E100.590820°		 ← 117.51 m →
13 806 m²		 S 67.371584°
E100.593567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779422760009766 y=0.756084442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779422760009766 × 217)
    floor (0.779422760009766 × 131072)
    floor (102160.5)     		tx = 102160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756084442138672 × 217)
    floor (0.756084442138672 × 131072)
    floor (99101.5)     		ty = 99101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102160 / 99101 ti = "17/102160/99101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102160/99101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102160 ÷ 217
    102160 ÷ 131072     		x = 0.7794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99101 ÷ 217
    99101 ÷ 131072     		y = 0.756080627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    0.558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75564101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756080627441406 × 2 - 1) × π
    -0.512161254882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60900203574718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75564101} λ = 1.75564101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60900203574718))-π/2
    2×atan(0.200087194338992)-π/2
    2×0.197479399154425-π/2
    0.394958798308849-1.57079632675     		φ = -1.17583753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75564101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17583753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.370528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102160 KachelY 99101 1.75564101 -1.17583753 100.590820 -67.370528
    Oben rechts KachelX + 1 102161 KachelY 99101 1.75568895 -1.17583753 100.593567 -67.370528
    Unten links KachelX 102160 KachelY + 1 99102 1.75564101 -1.17585597 100.590820 -67.371584
    Unten rechts KachelX + 1 102161 KachelY + 1 99102 1.75568895 -1.17585597 100.593567 -67.371584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17583753--1.17585597) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dl = 117.481240000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17583753--1.17585597) × R
    1.8440000000064e-05 × 6371000     		dr = 117.481240000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75564101-1.75568895) × cos(-1.17583753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384770158064859 × 6371000     		do = 117.5187102568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75564101-1.75568895) × cos(-1.17585597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384753137650438 × 6371000     		du = 117.51351178413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17583753)-sin(-1.17585597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384770158064859-0.384753137650438)×R²
    abs(1.75568895-1.75564101)×1.70204144211983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70204144211983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70204144211983e-05×40589641000000     		ar = 13805.9384430287m²