Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102156 / 99563
↖ ↑ ↗
← S 67.853809°
E100.579834°		 ← 115.14 m → S 67.853809°
E100.582581°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.854844°
E100.579834°		 ← 115.13 m →
13 255 m²		 S 67.854844°
E100.582581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779392242431641 y=0.759609222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779392242431641 × 217)
    floor (0.779392242431641 × 131072)
    floor (102156.5)     		tx = 102156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759609222412109 × 217)
    floor (0.759609222412109 × 131072)
    floor (99563.5)     		ty = 99563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102156 / 99563 ti = "17/102156/99563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102156/99563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102156 ÷ 217
    102156 ÷ 131072     		x = 0.779388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99563 ÷ 217
    99563 ÷ 131072     		y = 0.759605407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779388427734375 × 2 - 1) × π
    0.55877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75544926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759605407714844 × 2 - 1) × π
    -0.519210815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63114888337165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75544926} λ = 1.75544926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63114888337165))-π/2
    2×atan(0.19570460315463)-π/2
    2×0.193261979605229-π/2
    0.386523959210457-1.57079632675     		φ = -1.18427237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75544926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18427237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.853809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102156 KachelY 99563 1.75544926 -1.18427237 100.579834 -67.853809
    Oben rechts KachelX + 1 102157 KachelY 99563 1.75549720 -1.18427237 100.582581 -67.853809
    Unten links KachelX 102156 KachelY + 1 99564 1.75544926 -1.18429044 100.579834 -67.854844
    Unten rechts KachelX + 1 102157 KachelY + 1 99564 1.75549720 -1.18429044 100.582581 -67.854844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18427237--1.18429044) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dl = 115.123970000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18427237--1.18429044) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dr = 115.123970000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75544926-1.75549720) × cos(-1.18427237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376971100862263 × 6371000     		do = 115.136677439396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75544926-1.75549720) × cos(-1.18429044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376954363914593 × 6371000     		du = 115.131565544768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18427237)-sin(-1.18429044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376971100862263-0.376954363914593)×R²
    abs(1.75549720-1.75544926)×1.67369476698487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67369476698487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67369476698487e-05×40589641000000     		ar = 13254.6971490258m²