Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102156 / 97030
↖ ↑ ↗
← S 65.079075°
E100.579834°		 ← 128.70 m → S 65.079075°
E100.582581°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.080232°
E100.579834°		 ← 128.69 m →
16 562 m²		 S 65.080232°
E100.582581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779392242431641 y=0.740283966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779392242431641 × 217)
    floor (0.779392242431641 × 131072)
    floor (102156.5)     		tx = 102156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740283966064453 × 217)
    floor (0.740283966064453 × 131072)
    floor (97030.5)     		ty = 97030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102156 / 97030 ti = "17/102156/97030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102156/97030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102156 ÷ 217
    102156 ÷ 131072     		x = 0.779388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97030 ÷ 217
    97030 ÷ 131072     		y = 0.740280151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779388427734375 × 2 - 1) × π
    0.55877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75544926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740280151367188 × 2 - 1) × π
    -0.480560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50972471663405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75544926} λ = 1.75544926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50972471663405))-π/2
    2×atan(0.220970799172833)-π/2
    2×0.217476097773232-π/2
    0.434952195546464-1.57079632675     		φ = -1.13584413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75544926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13584413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.079075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102156 KachelY 97030 1.75544926 -1.13584413 100.579834 -65.079075
    Oben rechts KachelX + 1 102157 KachelY 97030 1.75549720 -1.13584413 100.582581 -65.079075
    Unten links KachelX 102156 KachelY + 1 97031 1.75544926 -1.13586433 100.579834 -65.080232
    Unten rechts KachelX + 1 102157 KachelY + 1 97031 1.75549720 -1.13586433 100.582581 -65.080232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13584413--1.13586433) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13584413--1.13586433) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75544926-1.75549720) × cos(-1.13584413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421367049590538 × 6371000     		do = 128.696342932722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75544926-1.75549720) × cos(-1.13586433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421348730322814 × 6371000     		du = 128.690747756822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13584413)-sin(-1.13586433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421367049590538-0.421348730322814)×R²
    abs(1.75549720-1.75544926)×1.83192677238875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83192677238875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83192677238875e-05×40589641000000     		ar = 16562.1128638666m²