Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102155 / 99564
↖ ↑ ↗
← S 67.854844°
E100.577088°		 ← 115.11 m → S 67.854844°
E100.579834°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.855879°
E100.577088°		 ← 115.10 m →
13 251 m²		 S 67.855879°
E100.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779384613037109 y=0.759616851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779384613037109 × 217)
    floor (0.779384613037109 × 131072)
    floor (102155.5)     		tx = 102155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759616851806641 × 217)
    floor (0.759616851806641 × 131072)
    floor (99564.5)     		ty = 99564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102155 / 99564 ti = "17/102155/99564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102155/99564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102155 ÷ 217
    102155 ÷ 131072     		x = 0.779380798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99564 ÷ 217
    99564 ÷ 131072     		y = 0.759613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779380798339844 × 2 - 1) × π
    0.558761596679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75540133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.51922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63119682027127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75540133} λ = 1.75540133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63119682027127))-π/2
    2×atan(0.19569522190757)-π/2
    2×0.19325294439285-π/2
    0.386505888785699-1.57079632675     		φ = -1.18429044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75540133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.577088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18429044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.854844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102155 KachelY 99564 1.75540133 -1.18429044 100.577088 -67.854844
    Oben rechts KachelX + 1 102156 KachelY 99564 1.75544926 -1.18429044 100.579834 -67.854844
    Unten links KachelX 102155 KachelY + 1 99565 1.75540133 -1.18430851 100.577088 -67.855879
    Unten rechts KachelX + 1 102156 KachelY + 1 99565 1.75544926 -1.18430851 100.579834 -67.855879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18429044--1.18430851) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dl = 115.123969999173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18429044--1.18430851) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dr = 115.123969999173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75540133-1.75544926) × cos(-1.18429044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376954363914593 × 6371000     		do = 115.107549782389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75540133-1.75544926) × cos(-1.18430851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376937626843839 × 6371000     		du = 115.102438916488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18429044)-sin(-1.18430851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376954363914593-0.376937626843839)×R²
    abs(1.75544926-1.75540133)×1.67370707546688e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67370707546688e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67370707546688e-05×40589641000000     		ar = 13251.3439167589m²