Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102155 / 99044
↖ ↑ ↗
← S 67.310214°
E100.577088°		 ← 117.79 m → S 67.310214°
E100.579834°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.311274°
E100.577088°		 ← 117.79 m →
13 883 m²		 S 67.311274°
E100.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779384613037109 y=0.755649566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779384613037109 × 217)
    floor (0.779384613037109 × 131072)
    floor (102155.5)     		tx = 102155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755649566650391 × 217)
    floor (0.755649566650391 × 131072)
    floor (99044.5)     		ty = 99044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102155 / 99044 ti = "17/102155/99044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102155/99044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102155 ÷ 217
    102155 ÷ 131072     		x = 0.779380798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99044 ÷ 217
    99044 ÷ 131072     		y = 0.755645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779380798339844 × 2 - 1) × π
    0.558761596679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75540133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.51129150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60626963246884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75540133} λ = 1.75540133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60626963246884))-π/2
    2×atan(0.200634660853792)-π/2
    2×0.198005736122985-π/2
    0.39601147224597-1.57079632675     		φ = -1.17478485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75540133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.577088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17478485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.310214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102155 KachelY 99044 1.75540133 -1.17478485 100.577088 -67.310214
    Oben rechts KachelX + 1 102156 KachelY 99044 1.75544926 -1.17478485 100.579834 -67.310214
    Unten links KachelX 102155 KachelY + 1 99045 1.75540133 -1.17480335 100.577088 -67.311274
    Unten rechts KachelX + 1 102156 KachelY + 1 99045 1.75544926 -1.17480335 100.579834 -67.311274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17478485--1.17480335) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dl = 117.863499999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17478485--1.17480335) × R
    1.84999999999214e-05 × 6371000     		dr = 117.863499999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75540133-1.75544926) × cos(-1.17478485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385741581409892 × 6371000     		do = 117.790832354807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75540133-1.75544926) × cos(-1.17480335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38572451311683 × 6371000     		du = 117.785620346189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17478485)-sin(-1.17480335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385741581409892-0.38572451311683)×R²
    abs(1.75544926-1.75540133)×1.70682930618615e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70682930618615e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70682930618615e-05×40589641000000     		ar = 13882.9326168872m²