Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102155 / 97032
↖ ↑ ↗
← S 65.081390°
E100.577088°		 ← 128.66 m → S 65.081390°
E100.579834°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
S 65.082546°
E100.577088°		 ← 128.65 m →
16 549 m²		 S 65.082546°
E100.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779384613037109 y=0.740299224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779384613037109 × 217)
    floor (0.779384613037109 × 131072)
    floor (102155.5)     		tx = 102155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740299224853516 × 217)
    floor (0.740299224853516 × 131072)
    floor (97032.5)     		ty = 97032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102155 / 97032 ti = "17/102155/97032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102155/97032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102155 ÷ 217
    102155 ÷ 131072     		x = 0.779380798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97032 ÷ 217
    97032 ÷ 131072     		y = 0.74029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779380798339844 × 2 - 1) × π
    0.558761596679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75540133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.4805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50982059043329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75540133} λ = 1.75540133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50982059043329))-π/2
    2×atan(0.220949614878321)-π/2
    2×0.217455899621429-π/2
    0.434911799242859-1.57079632675     		φ = -1.13588453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75540133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.577088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13588453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.081390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102155 KachelY 97032 1.75540133 -1.13588453 100.577088 -65.081390
    Oben rechts KachelX + 1 102156 KachelY 97032 1.75544926 -1.13588453 100.579834 -65.081390
    Unten links KachelX 102155 KachelY + 1 97033 1.75540133 -1.13590472 100.577088 -65.082546
    Unten rechts KachelX + 1 102156 KachelY + 1 97033 1.75544926 -1.13590472 100.579834 -65.082546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13588453--1.13590472) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13588453--1.13590472) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75540133-1.75544926) × cos(-1.13588453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.421330410883163 × 6371000     		do = 128.658309568096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75540133-1.75544926) × cos(-1.13590472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42131210034075 × 6371000     		du = 128.652718223694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13588453)-sin(-1.13590472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421330410883163-0.42131210034075)×R²
    abs(1.75544926-1.75540133)×1.83105424135799e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83105424135799e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83105424135799e-05×40589641000000     		ar = 16549.0217942773m²