Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102154 / 99133
↖ ↑ ↗
← S 67.404321°
E100.574341°		 ← 117.35 m → S 67.404321°
E100.577088°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.405377°
E100.574341°		 ← 117.35 m →
13 771 m²		 S 67.405377°
E100.577088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779376983642578 y=0.756328582763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779376983642578 × 217)
    floor (0.779376983642578 × 131072)
    floor (102154.5)     		tx = 102154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756328582763672 × 217)
    floor (0.756328582763672 × 131072)
    floor (99133.5)     		ty = 99133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102154 / 99133 ti = "17/102154/99133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102154/99133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102154 ÷ 217
    102154 ÷ 131072     		x = 0.779373168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99133 ÷ 217
    99133 ÷ 131072     		y = 0.756324768066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779373168945312 × 2 - 1) × π
    0.558746337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75535339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756324768066406 × 2 - 1) × π
    -0.512649536132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61053601653503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75535339} λ = 1.75535339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61053601653503))-π/2
    2×atan(0.199780499718951)-π/2
    2×0.197184492980999-π/2
    0.394368985961998-1.57079632675     		φ = -1.17642734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75535339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17642734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.404321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102154 KachelY 99133 1.75535339 -1.17642734 100.574341 -67.404321
    Oben rechts KachelX + 1 102155 KachelY 99133 1.75540133 -1.17642734 100.577088 -67.404321
    Unten links KachelX 102154 KachelY + 1 99134 1.75535339 -1.17644576 100.574341 -67.405377
    Unten rechts KachelX + 1 102155 KachelY + 1 99134 1.75540133 -1.17644576 100.577088 -67.405377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17642734--1.17644576) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17642734--1.17644576) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75535339-1.75540133) × cos(-1.17642734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384225689215508 × 6371000     		do = 117.352415455579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75535339-1.75540133) × cos(-1.17644576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384208683084268 × 6371000     		du = 117.347221345361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17642734)-sin(-1.17644576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384225689215508-0.384208683084268)×R²
    abs(1.75540133-1.75535339)×1.70061312395053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70061312395053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70061312395053e-05×40589641000000     		ar = 13771.4494661162m²