Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102152 / 99560
↖ ↑ ↗
← S 67.850702°
E100.568848°		 ← 115.13 m → S 67.850702°
E100.571594°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.851737°
E100.568848°		 ← 115.12 m →
13 254 m²		 S 67.851737°
E100.571594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779361724853516 y=0.759586334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779361724853516 × 217)
    floor (0.779361724853516 × 131072)
    floor (102152.5)     		tx = 102152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759586334228516 × 217)
    floor (0.759586334228516 × 131072)
    floor (99560.5)     		ty = 99560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102152 / 99560 ti = "17/102152/99560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102152/99560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102152 ÷ 217
    102152 ÷ 131072     		x = 0.77935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99560 ÷ 217
    99560 ÷ 131072     		y = 0.75958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77935791015625 × 2 - 1) × π
    0.5587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75525752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.5191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63100507267279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75525752} λ = 1.75525752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63100507267279))-π/2
    2×atan(0.195732749594211)-π/2
    2×0.193289087649479-π/2
    0.386578175298958-1.57079632675     		φ = -1.18421815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75525752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18421815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.850702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102152 KachelY 99560 1.75525752 -1.18421815 100.568848 -67.850702
    Oben rechts KachelX + 1 102153 KachelY 99560 1.75530545 -1.18421815 100.571594 -67.850702
    Unten links KachelX 102152 KachelY + 1 99561 1.75525752 -1.18423622 100.568848 -67.851737
    Unten rechts KachelX + 1 102153 KachelY + 1 99561 1.75530545 -1.18423622 100.571594 -67.851737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18421815--1.18423622) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dl = 115.123970000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18421815--1.18423622) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dr = 115.123970000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75525752-1.75530545) × cos(-1.18421815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377021320228754 × 6371000     		do = 115.127995698403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75525752-1.75530545) × cos(-1.18423622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37700458365044 × 6371000     		du = 115.122884982874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18421815)-sin(-1.18423622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377021320228754-0.37700458365044)×R²
    abs(1.75530545-1.75525752)×1.67365783139695e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67365783139695e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67365783139695e-05×40589641000000     		ar = 13253.6977404733m²