Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102151 / 99146
↖ ↑ ↗
← S 67.418036°
E100.566101°		 ← 117.28 m → S 67.418036°
E100.568848°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.419091°
E100.566101°		 ← 117.28 m →
13 756 m²		 S 67.419091°
E100.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779354095458984 y=0.756427764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779354095458984 × 217)
    floor (0.779354095458984 × 131072)
    floor (102151.5)     		tx = 102151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756427764892578 × 217)
    floor (0.756427764892578 × 131072)
    floor (99146.5)     		ty = 99146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102151 / 99146 ti = "17/102151/99146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102151/99146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102151 ÷ 217
    102151 ÷ 131072     		x = 0.779350280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99146 ÷ 217
    99146 ÷ 131072     		y = 0.756423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779350280761719 × 2 - 1) × π
    0.558700561523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75520958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756423950195312 × 2 - 1) × π
    -0.512847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61115919623009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75520958} λ = 1.75520958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61115919623009))-π/2
    2×atan(0.199656039352671)-π/2
    2×0.197064806592182-π/2
    0.394129613184364-1.57079632675     		φ = -1.17666671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75520958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.566101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17666671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.418036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102151 KachelY 99146 1.75520958 -1.17666671 100.566101 -67.418036
    Oben rechts KachelX + 1 102152 KachelY 99146 1.75525752 -1.17666671 100.568848 -67.418036
    Unten links KachelX 102151 KachelY + 1 99147 1.75520958 -1.17668512 100.566101 -67.419091
    Unten rechts KachelX + 1 102152 KachelY + 1 99147 1.75525752 -1.17668512 100.568848 -67.419091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17666671--1.17668512) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17666671--1.17668512) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75520958-1.75525752) × cos(-1.17666671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38400468244272 × 6371000     		do = 117.284914298456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75520958-1.75525752) × cos(-1.17668512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383987683851261 × 6371000     		du = 117.279722491081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17666671)-sin(-1.17668512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38400468244272-0.383987683851261)×R²
    abs(1.75525752-1.75520958)×1.69985914588722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69985914588722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69985914588722e-05×40589641000000     		ar = 13756.0560259702m²