Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102149 / 99149
↖ ↑ ↗
← S 67.421200°
E100.560608°		 ← 117.24 m → S 67.421200°
E100.563354°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.422255°
E100.560608°		 ← 117.24 m →
13 751 m²		 S 67.422255°
E100.563354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779338836669922 y=0.756450653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779338836669922 × 217)
    floor (0.779338836669922 × 131072)
    floor (102149.5)     		tx = 102149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756450653076172 × 217)
    floor (0.756450653076172 × 131072)
    floor (99149.5)     		ty = 99149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102149 / 99149 ti = "17/102149/99149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102149/99149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102149 ÷ 217
    102149 ÷ 131072     		x = 0.779335021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99149 ÷ 217
    99149 ÷ 131072     		y = 0.756446838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779335021972656 × 2 - 1) × π
    0.558670043945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75511371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756446838378906 × 2 - 1) × π
    -0.512893676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61130300692895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75511371} λ = 1.75511371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61130300692895))-π/2
    2×atan(0.199627328742616)-π/2
    2×0.197037196434708-π/2
    0.394074392869417-1.57079632675     		φ = -1.17672193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75511371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.560608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17672193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.421200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102149 KachelY 99149 1.75511371 -1.17672193 100.560608 -67.421200
    Oben rechts KachelX + 1 102150 KachelY 99149 1.75516164 -1.17672193 100.563354 -67.421200
    Unten links KachelX 102149 KachelY + 1 99150 1.75511371 -1.17674034 100.560608 -67.422255
    Unten rechts KachelX + 1 102150 KachelY + 1 99150 1.75516164 -1.17674034 100.563354 -67.422255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17672193--1.17674034) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17672193--1.17674034) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75511371-1.75516164) × cos(-1.17672193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38395369551144 × 6371000     		do = 117.244879887447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75511371-1.75516164) × cos(-1.17674034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383936696529636 × 6371000     		du = 117.239689043856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17672193)-sin(-1.17674034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38395369551144-0.383936696529636)×R²
    abs(1.75516164-1.75511371)×1.69989818035177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69989818035177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69989818035177e-05×40589641000000     		ar = 13751.3604419614m²