Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102147 / 99141
↖ ↑ ↗
← S 67.412762°
E100.555115°		 ← 117.31 m → S 67.412762°
E100.557861°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.413818°
E100.555115°		 ← 117.31 m →
13 767 m²		 S 67.413818°
E100.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779323577880859 y=0.756389617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779323577880859 × 217)
    floor (0.779323577880859 × 131072)
    floor (102147.5)     		tx = 102147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756389617919922 × 217)
    floor (0.756389617919922 × 131072)
    floor (99141.5)     		ty = 99141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102147 / 99141 ti = "17/102147/99141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102147/99141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102147 ÷ 217
    102147 ÷ 131072     		x = 0.779319763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99141 ÷ 217
    99141 ÷ 131072     		y = 0.756385803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779319763183594 × 2 - 1) × π
    0.558639526367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75501783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756385803222656 × 2 - 1) × π
    -0.512771606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61091951173199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75501783} λ = 1.75501783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61091951173199))-π/2
    2×atan(0.1997038995457)-π/2
    2×0.197110831669182-π/2
    0.394221663338364-1.57079632675     		φ = -1.17657466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75501783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.555115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17657466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.412762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102147 KachelY 99141 1.75501783 -1.17657466 100.555115 -67.412762
    Oben rechts KachelX + 1 102148 KachelY 99141 1.75506577 -1.17657466 100.557861 -67.412762
    Unten links KachelX 102147 KachelY + 1 99142 1.75501783 -1.17659308 100.555115 -67.413818
    Unten rechts KachelX + 1 102148 KachelY + 1 99142 1.75506577 -1.17659308 100.557861 -67.413818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17657466--1.17659308) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17657466--1.17659308) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75501783-1.75506577) × cos(-1.17657466) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384089673447649 × 6371000     		do = 117.310872739573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75501783-1.75506577) × cos(-1.17659308) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384072666273969 × 6371000     		du = 117.305678310966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17657466)-sin(-1.17659308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384089673447649-0.384072666273969)×R²
    abs(1.75506577-1.75501783)×1.70071736799726e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70071736799726e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70071736799726e-05×40589641000000     		ar = 13766.5742509227m²