Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102146 / 99141
↖ ↑ ↗
← S 67.412762°
E100.552368°		 ← 117.29 m → S 67.412762°
E100.555115°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.413818°
E100.552368°		 ← 117.28 m →
13 764 m²		 S 67.413818°
E100.555115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779315948486328 y=0.756389617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779315948486328 × 217)
    floor (0.779315948486328 × 131072)
    floor (102146.5)     		tx = 102146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756389617919922 × 217)
    floor (0.756389617919922 × 131072)
    floor (99141.5)     		ty = 99141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102146 / 99141 ti = "17/102146/99141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102146/99141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102146 ÷ 217
    102146 ÷ 131072     		x = 0.779312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99141 ÷ 217
    99141 ÷ 131072     		y = 0.756385803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    0.558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75496990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756385803222656 × 2 - 1) × π
    -0.512771606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61091951173199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75496990} λ = 1.75496990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61091951173199))-π/2
    2×atan(0.1997038995457)-π/2
    2×0.197110831669182-π/2
    0.394221663338364-1.57079632675     		φ = -1.17657466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75496990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17657466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.412762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102146 KachelY 99141 1.75496990 -1.17657466 100.552368 -67.412762
    Oben rechts KachelX + 1 102147 KachelY 99141 1.75501783 -1.17657466 100.555115 -67.412762
    Unten links KachelX 102146 KachelY + 1 99142 1.75496990 -1.17659308 100.552368 -67.413818
    Unten rechts KachelX + 1 102147 KachelY + 1 99142 1.75501783 -1.17659308 100.555115 -67.413818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17657466--1.17659308) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17657466--1.17659308) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75496990-1.75501783) × cos(-1.17657466) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.384089673447649 × 6371000     		do = 117.28640238554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75496990-1.75501783) × cos(-1.17659308) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.384072666273969 × 6371000     		du = 117.28120904046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17657466)-sin(-1.17659308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384089673447649-0.384072666273969)×R²
    abs(1.75501783-1.75496990)×1.70071736799726e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.70071736799726e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.70071736799726e-05×40589641000000     		ar = 13763.7026249781m²