Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102146 / 97533
↖ ↑ ↗
← S 65.654878°
E100.552368°		 ← 125.88 m → S 65.654878°
E100.555115°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
S 65.656010°
E100.552368°		 ← 125.87 m →
15 847 m²		 S 65.656010°
E100.555115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779315948486328 y=0.744121551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779315948486328 × 217)
    floor (0.779315948486328 × 131072)
    floor (102146.5)     		tx = 102146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744121551513672 × 217)
    floor (0.744121551513672 × 131072)
    floor (97533.5)     		ty = 97533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102146 / 97533 ti = "17/102146/97533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102146/97533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102146 ÷ 217
    102146 ÷ 131072     		x = 0.779312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97533 ÷ 217
    97533 ÷ 131072     		y = 0.744117736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    0.558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75496990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744117736816406 × 2 - 1) × π
    -0.488235473632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53383697714294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75496990} λ = 1.75496990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53383697714294))-π/2
    2×atan(0.215706416834835)-π/2
    2×0.212451267374985-π/2
    0.42490253474997-1.57079632675     		φ = -1.14589379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75496990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14589379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.654878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102146 KachelY 97533 1.75496990 -1.14589379 100.552368 -65.654878
    Oben rechts KachelX + 1 102147 KachelY 97533 1.75501783 -1.14589379 100.555115 -65.654878
    Unten links KachelX 102146 KachelY + 1 97534 1.75496990 -1.14591355 100.552368 -65.656010
    Unten rechts KachelX + 1 102147 KachelY + 1 97534 1.75501783 -1.14591355 100.555115 -65.656010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14589379--1.14591355) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14589379--1.14591355) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75496990-1.75501783) × cos(-1.14589379) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.412231987030345 × 6371000     		do = 125.879996390014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75496990-1.75501783) × cos(-1.14591355) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.412213984030512 × 6371000     		du = 125.874498957439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14589379)-sin(-1.14591355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412231987030345-0.412213984030512)×R²
    abs(1.75501783-1.75496990)×1.80029998335107e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.80029998335107e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.80029998335107e-05×40589641000000     		ar = 15846.8075524939m²