Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102146 / 97026
↖ ↑ ↗
← S 65.074445°
E100.552368°		 ← 128.69 m → S 65.074445°
E100.555115°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
S 65.075603°
E100.552368°		 ← 128.69 m →
16 562 m²		 S 65.075603°
E100.555115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779315948486328 y=0.740253448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779315948486328 × 217)
    floor (0.779315948486328 × 131072)
    floor (102146.5)     		tx = 102146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740253448486328 × 217)
    floor (0.740253448486328 × 131072)
    floor (97026.5)     		ty = 97026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102146 / 97026 ti = "17/102146/97026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102146/97026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102146 ÷ 217
    102146 ÷ 131072     		x = 0.779312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97026 ÷ 217
    97026 ÷ 131072     		y = 0.740249633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    0.558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75496990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740249633789062 × 2 - 1) × π
    -0.480499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50953296903557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75496990} λ = 1.75496990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50953296903557))-π/2
    2×atan(0.221013173855401)-π/2
    2×0.217516499345692-π/2
    0.435032998691385-1.57079632675     		φ = -1.13576333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75496990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13576333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.074445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102146 KachelY 97026 1.75496990 -1.13576333 100.552368 -65.074445
    Oben rechts KachelX + 1 102147 KachelY 97026 1.75501783 -1.13576333 100.555115 -65.074445
    Unten links KachelX 102146 KachelY + 1 97027 1.75496990 -1.13578353 100.552368 -65.075603
    Unten rechts KachelX + 1 102147 KachelY + 1 97027 1.75501783 -1.13578353 100.555115 -65.075603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13576333--1.13578353) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13576333--1.13578353) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75496990-1.75501783) × cos(-1.13576333) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.421440324942013 × 6371000     		do = 128.691873147635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75496990-1.75501783) × cos(-1.13578353) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.421422006362072 × 6371000     		du = 128.686279348878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13576333)-sin(-1.13578353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421440324942013-0.421422006362072)×R²
    abs(1.75501783-1.75496990)×1.83185799406127e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83185799406127e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83185799406127e-05×40589641000000     		ar = 16561.5377169509m²