Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102145 / 99157
↖ ↑ ↗
← S 67.429635°
E100.549622°		 ← 117.23 m → S 67.429635°
E100.552368°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.430690°
E100.549622°		 ← 117.22 m →
13 742 m²		 S 67.430690°
E100.552368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779308319091797 y=0.756511688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779308319091797 × 217)
    floor (0.779308319091797 × 131072)
    floor (102145.5)     		tx = 102145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756511688232422 × 217)
    floor (0.756511688232422 × 131072)
    floor (99157.5)     		ty = 99157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102145 / 99157 ti = "17/102145/99157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102145/99157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102145 ÷ 217
    102145 ÷ 131072     		x = 0.779304504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99157 ÷ 217
    99157 ÷ 131072     		y = 0.756507873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779304504394531 × 2 - 1) × π
    0.558609008789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75492196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756507873535156 × 2 - 1) × π
    -0.513015747070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61168650212591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75492196} λ = 1.75492196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61168650212591))-π/2
    2×atan(0.199550787298438)-π/2
    2×0.196963587269943-π/2
    0.393927174539886-1.57079632675     		φ = -1.17686915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75492196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.549622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17686915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.429635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102145 KachelY 99157 1.75492196 -1.17686915 100.549622 -67.429635
    Oben rechts KachelX + 1 102146 KachelY 99157 1.75496990 -1.17686915 100.552368 -67.429635
    Unten links KachelX 102145 KachelY + 1 99158 1.75492196 -1.17688755 100.549622 -67.430690
    Unten rechts KachelX + 1 102146 KachelY + 1 99158 1.75496990 -1.17688755 100.552368 -67.430690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17686915--1.17688755) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dl = 117.226400000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17686915--1.17688755) × R
    1.8400000000085e-05 × 6371000     		dr = 117.226400000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75492196-1.75496990) × cos(-1.17686915) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383817755418313 × 6371000     		do = 117.227821974243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75492196-1.75496990) × cos(-1.17688755) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383800764630239 × 6371000     		du = 117.222632550223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17686915)-sin(-1.17688755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383817755418313-0.383800764630239)×R²
    abs(1.75496990-1.75492196)×1.69907880744891e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69907880744891e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69907880744891e-05×40589641000000     		ar = 13741.89138163m²