Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102144 / 97534
↖ ↑ ↗
← S 65.656010°
E100.546875°		 ← 125.90 m → S 65.656010°
E100.549622°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
S 65.657142°
E100.546875°		 ← 125.90 m →
15 849 m²		 S 65.657142°
E100.549622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779300689697266 y=0.744129180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779300689697266 × 217)
    floor (0.779300689697266 × 131072)
    floor (102144.5)     		tx = 102144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744129180908203 × 217)
    floor (0.744129180908203 × 131072)
    floor (97534.5)     		ty = 97534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102144 / 97534 ti = "17/102144/97534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102144/97534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102144 ÷ 217
    102144 ÷ 131072     		x = 0.779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97534 ÷ 217
    97534 ÷ 131072     		y = 0.744125366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779296875 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75487402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744125366210938 × 2 - 1) × π
    -0.488250732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53388491404256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75487402} λ = 1.75487402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53388491404256))-π/2
    2×atan(0.215696076785821)-π/2
    2×0.212441387029099-π/2
    0.424882774058198-1.57079632675     		φ = -1.14591355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75487402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14591355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.656010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102144 KachelY 97534 1.75487402 -1.14591355 100.546875 -65.656010
    Oben rechts KachelX + 1 102145 KachelY 97534 1.75492196 -1.14591355 100.549622 -65.656010
    Unten links KachelX 102144 KachelY + 1 97535 1.75487402 -1.14593331 100.546875 -65.657142
    Unten rechts KachelX + 1 102145 KachelY + 1 97535 1.75492196 -1.14593331 100.549622 -65.657142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14591355--1.14593331) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14591355--1.14593331) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75487402-1.75492196) × cos(-1.14591355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412213984030512 × 6371000     		do = 125.900761110785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75487402-1.75492196) × cos(-1.14593331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412195980869726 × 6371000     		du = 125.895262482079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14591355)-sin(-1.14593331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412213984030512-0.412195980869726)×R²
    abs(1.75492196-1.75487402)×1.80031607855957e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80031607855957e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80031607855957e-05×40589641000000     		ar = 15849.4215675912m²