Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102143 / 99156
↖ ↑ ↗
← S 67.428581°
E100.544128°		 ← 117.23 m → S 67.428581°
E100.546875°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.429635°
E100.544128°		 ← 117.23 m →
13 742 m²		 S 67.429635°
E100.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779293060302734 y=0.756504058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779293060302734 × 217)
    floor (0.779293060302734 × 131072)
    floor (102143.5)     		tx = 102143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756504058837891 × 217)
    floor (0.756504058837891 × 131072)
    floor (99156.5)     		ty = 99156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102143 / 99156 ti = "17/102143/99156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102143/99156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102143 ÷ 217
    102143 ÷ 131072     		x = 0.779289245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99156 ÷ 217
    99156 ÷ 131072     		y = 0.756500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779289245605469 × 2 - 1) × π
    0.558578491210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.75482608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756500244140625 × 2 - 1) × π
    -0.51300048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61163856522629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75482608} λ = 1.75482608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61163856522629))-π/2
    2×atan(0.19956035337378)-π/2
    2×0.196972786990113-π/2
    0.393945573980225-1.57079632675     		φ = -1.17685075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75482608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.544128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17685075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.428581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102143 KachelY 99156 1.75482608 -1.17685075 100.544128 -67.428581
    Oben rechts KachelX + 1 102144 KachelY 99156 1.75487402 -1.17685075 100.546875 -67.428581
    Unten links KachelX 102143 KachelY + 1 99157 1.75482608 -1.17686915 100.544128 -67.429635
    Unten rechts KachelX + 1 102144 KachelY + 1 99157 1.75487402 -1.17686915 100.546875 -67.429635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17685075--1.17686915) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dl = 117.226399999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17685075--1.17686915) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dr = 117.226399999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75482608-1.75487402) × cos(-1.17685075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383834746076442 × 6371000     		do = 117.233011358033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75482608-1.75487402) × cos(-1.17686915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383817755418313 × 6371000     		du = 117.2278219737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17685075)-sin(-1.17686915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383834746076442-0.383817755418313)×R²
    abs(1.75487402-1.75482608)×1.69906581289903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69906581289903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69906581289903e-05×40589641000000     		ar = 13742.4997164242m²