Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102142 / 99649
↖ ↑ ↗
← S 67.942681°
E100.541382°		 ← 114.67 m → S 67.942681°
E100.544128°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 67.943713°
E100.541382°		 ← 114.67 m →
13 158 m²		 S 67.943713°
E100.544128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779285430908203 y=0.760265350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779285430908203 × 217)
    floor (0.779285430908203 × 131072)
    floor (102142.5)     		tx = 102142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760265350341797 × 217)
    floor (0.760265350341797 × 131072)
    floor (99649.5)     		ty = 99649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102142 / 99649 ti = "17/102142/99649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102142/99649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102142 ÷ 217
    102142 ÷ 131072     		x = 0.779281616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99649 ÷ 217
    99649 ÷ 131072     		y = 0.760261535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779281616210938 × 2 - 1) × π
    0.558563232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75477815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760261535644531 × 2 - 1) × π
    -0.520523071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63527145673898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75477815} λ = 1.75477815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63527145673898))-π/2
    2×atan(0.194899457346464)-π/2
    2×0.192486416062294-π/2
    0.384972832124589-1.57079632675     		φ = -1.18582349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75477815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.541382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18582349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.942681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102142 KachelY 99649 1.75477815 -1.18582349 100.541382 -67.942681
    Oben rechts KachelX + 1 102143 KachelY 99649 1.75482608 -1.18582349 100.544128 -67.942681
    Unten links KachelX 102142 KachelY + 1 99650 1.75477815 -1.18584150 100.541382 -67.943713
    Unten rechts KachelX + 1 102143 KachelY + 1 99650 1.75482608 -1.18584150 100.544128 -67.943713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18582349--1.18584150) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18582349--1.18584150) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75477815-1.75482608) × cos(-1.18582349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375533961793037 × 6371000     		do = 114.673812907134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75477815-1.75482608) × cos(-1.18584150) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37551726990864 × 6371000     		du = 114.668715839431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18582349)-sin(-1.18584150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375533961793037-0.37551726990864)×R²
    abs(1.75482608-1.75477815)×1.66918843965691e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66918843965691e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66918843965691e-05×40589641000000     		ar = 13157.5769625767m²