Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102141 / 97021
↖ ↑ ↗
← S 65.068657°
E100.538635°		 ← 128.75 m → S 65.068657°
E100.541382°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
S 65.069815°
E100.538635°		 ← 128.74 m →
16 577 m²		 S 65.069815°
E100.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779277801513672 y=0.740215301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779277801513672 × 217)
    floor (0.779277801513672 × 131072)
    floor (102141.5)     		tx = 102141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740215301513672 × 217)
    floor (0.740215301513672 × 131072)
    floor (97021.5)     		ty = 97021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102141 / 97021 ti = "17/102141/97021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102141/97021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102141 ÷ 217
    102141 ÷ 131072     		x = 0.779273986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97021 ÷ 217
    97021 ÷ 131072     		y = 0.740211486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779273986816406 × 2 - 1) × π
    0.558547973632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.75473021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740211486816406 × 2 - 1) × π
    -0.480422973632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.50929328453747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75473021} λ = 1.75473021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50929328453747))-π/2
    2×atan(0.221066153636012)-π/2
    2×0.217567011191606-π/2
    0.435134022383213-1.57079632675     		φ = -1.13566230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75473021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.538635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13566230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.068657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102141 KachelY 97021 1.75473021 -1.13566230 100.538635 -65.068657
    Oben rechts KachelX + 1 102142 KachelY 97021 1.75477815 -1.13566230 100.541382 -65.068657
    Unten links KachelX 102141 KachelY + 1 97022 1.75473021 -1.13568251 100.538635 -65.069815
    Unten rechts KachelX + 1 102142 KachelY + 1 97022 1.75477815 -1.13568251 100.541382 -65.069815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13566230--1.13568251) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dl = 128.757910001192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13566230--1.13568251) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dr = 128.757910001192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75473021-1.75477815) × cos(-1.13566230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421531942466506 × 6371000     		do = 128.746705461385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75473021-1.75477815) × cos(-1.13568251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421513615678497 × 6371000     		du = 128.741107988596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13566230)-sin(-1.13568251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421531942466506-0.421513615678497)×R²
    abs(1.75477815-1.75473021)×1.83267880087823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83267880087823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83267880087823e-05×40589641000000     		ar = 16576.7963559479m²