Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102140 / 97580
↖ ↑ ↗
← S 65.708038°
E100.535888°		 ← 125.65 m → S 65.708038°
E100.538635°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
S 65.709168°
E100.535888°		 ← 125.64 m →
15 786 m²		 S 65.709168°
E100.538635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779270172119141 y=0.744480133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779270172119141 × 217)
    floor (0.779270172119141 × 131072)
    floor (102140.5)     		tx = 102140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744480133056641 × 217)
    floor (0.744480133056641 × 131072)
    floor (97580.5)     		ty = 97580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102140 / 97580 ti = "17/102140/97580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102140/97580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102140 ÷ 217
    102140 ÷ 131072     		x = 0.779266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97580 ÷ 217
    97580 ÷ 131072     		y = 0.744476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779266357421875 × 2 - 1) × π
    0.55853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75468227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.48895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53609001142508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75468227} λ = 1.75468227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53609001142508))-π/2
    2×atan(0.215220969952413)-π/2
    2×0.211987357339367-π/2
    0.423974714678734-1.57079632675     		φ = -1.14682161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75468227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.535888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14682161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.708038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102140 KachelY 97580 1.75468227 -1.14682161 100.535888 -65.708038
    Oben rechts KachelX + 1 102141 KachelY 97580 1.75473021 -1.14682161 100.538635 -65.708038
    Unten links KachelX 102140 KachelY + 1 97581 1.75468227 -1.14684133 100.535888 -65.709168
    Unten rechts KachelX + 1 102141 KachelY + 1 97581 1.75473021 -1.14684133 100.538635 -65.709168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14682161--1.14684133) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14682161--1.14684133) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75468227-1.75473021) × cos(-1.14682161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41138649247803 × 6371000     		do = 125.648023891024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75468227-1.75473021) × cos(-1.14684133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411368518387129 × 6371000     		du = 125.64253414101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14682161)-sin(-1.14684133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41138649247803-0.411368518387129)×R²
    abs(1.75473021-1.75468227)×1.79740909008186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79740909008186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79740909008186e-05×40589641000000     		ar = 15785.5853525179m²