Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10214 / 2169
↖ ↑ ↗
← N 78.660288°
E 44.428711°		 ← 480.40 m → N 78.660288°
E 44.450683°		 →
↑
480.50 m
↓
↑
480.50 m
↓
N 78.655967°
E 44.428711°		 ← 480.58 m →
230 876 m²		 N 78.655967°
E 44.450683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623443603515625 y=0.132415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623443603515625 × 214)
    floor (0.623443603515625 × 16384)
    floor (10214.5)     		tx = 10214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132415771484375 × 214)
    floor (0.132415771484375 × 16384)
    floor (2169.5)     		ty = 2169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10214 / 2169 ti = "14/10214/2169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10214/2169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10214 ÷ 214
    10214 ÷ 16384     		x = 0.6234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2169 ÷ 214
    2169 ÷ 16384     		y = 0.13238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6234130859375 × 2 - 1) × π
    0.246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77542729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13238525390625 × 2 - 1) × π
    0.7352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30979157129279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77542729} λ = 0.77542729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30979157129279))-π/2
    2×atan(10.0723250745208)-π/2
    2×1.47183867264289-π/2
    2.94367734528579-1.57079632675     		φ = 1.37288102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77542729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37288102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.660288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10214 KachelY 2169 0.77542729 1.37288102 44.428711 78.660288
    Oben rechts KachelX + 1 10215 KachelY 2169 0.77581078 1.37288102 44.450683 78.660288
    Unten links KachelX 10214 KachelY + 1 2170 0.77542729 1.37280560 44.428711 78.655967
    Unten rechts KachelX + 1 10215 KachelY + 1 2170 0.77581078 1.37280560 44.450683 78.655967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37288102-1.37280560) × R
    7.54199999999372e-05 × 6371000     		dl = 480.5008199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37288102-1.37280560) × R
    7.54199999999372e-05 × 6371000     		dr = 480.5008199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77542729-0.77581078) × cos(1.37288102) × R
    0.000383490000000042 × 0.19662576243667 × 6371000     		do = 480.39897088035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77542729-0.77581078) × cos(1.37280560) × R
    0.000383490000000042 × 0.196699709574332 × 6371000     		du = 480.579639620765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37288102)-sin(1.37280560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19662576243667-0.196699709574332)×R²
    abs(0.77581078-0.77542729)×7.39471376626777e-05×R²
    0.000383490000000042×7.39471376626777e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.39471376626777e-05×40589641000000     		ar = 230875.505283925m²