Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102137 / 99548
↖ ↑ ↗
← S 67.838272°
E100.527649°		 ← 115.21 m → S 67.838272°
E100.530396°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
S 67.839309°
E100.527649°		 ← 115.21 m →
13 278 m²		 S 67.839309°
E100.530396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779247283935547 y=0.759494781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779247283935547 × 217)
    floor (0.779247283935547 × 131072)
    floor (102137.5)     		tx = 102137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759494781494141 × 217)
    floor (0.759494781494141 × 131072)
    floor (99548.5)     		ty = 99548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102137 / 99548 ti = "17/102137/99548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102137/99548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102137 ÷ 217
    102137 ÷ 131072     		x = 0.779243469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99548 ÷ 217
    99548 ÷ 131072     		y = 0.759490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779243469238281 × 2 - 1) × π
    0.558486938476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75453846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.51898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63042982987735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75453846} λ = 1.75453846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63042982987735))-π/2
    2×atan(0.195845375838859)-π/2
    2×0.193397555940305-π/2
    0.386795111880611-1.57079632675     		φ = -1.18400121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75453846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.527649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18400121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.838272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102137 KachelY 99548 1.75453846 -1.18400121 100.527649 -67.838272
    Oben rechts KachelX + 1 102138 KachelY 99548 1.75458640 -1.18400121 100.530396 -67.838272
    Unten links KachelX 102137 KachelY + 1 99549 1.75453846 -1.18401930 100.527649 -67.839309
    Unten rechts KachelX + 1 102138 KachelY + 1 99549 1.75458640 -1.18401930 100.530396 -67.839309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18400121--1.18401930) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dl = 115.251390001228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18400121--1.18401930) × R
    1.80900000001927e-05 × 6371000     		dr = 115.251390001228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75453846-1.75458640) × cos(-1.18400121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377222242176902 × 6371000     		do = 115.213382461264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75453846-1.75458640) × cos(-1.18401930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377205488554321 × 6371000     		du = 115.208265473689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18400121)-sin(-1.18401930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377222242176902-0.377205488554321)×R²
    abs(1.75458640-1.75453846)×1.67536225813003e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67536225813003e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67536225813003e-05×40589641000000     		ar = 13278.2076056829m²