Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102137 / 96107
↖ ↑ ↗
← S 63.989213°
E100.527649°		 ← 133.94 m → S 63.989213°
E100.530396°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.990418°
E100.527649°		 ← 133.94 m →
17 937 m²		 S 63.990418°
E100.530396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779247283935547 y=0.733242034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779247283935547 × 217)
    floor (0.779247283935547 × 131072)
    floor (102137.5)     		tx = 102137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733242034912109 × 217)
    floor (0.733242034912109 × 131072)
    floor (96107.5)     		ty = 96107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102137 / 96107 ti = "17/102137/96107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102137/96107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102137 ÷ 217
    102137 ÷ 131072     		x = 0.779243469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96107 ÷ 217
    96107 ÷ 131072     		y = 0.733238220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779243469238281 × 2 - 1) × π
    0.558486938476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75453846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733238220214844 × 2 - 1) × π
    -0.466476440429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.46547895828474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75453846} λ = 1.75453846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46547895828474))-π/2
    2×atan(0.230967341259426)-π/2
    2×0.226986933555243-π/2
    0.453973867110486-1.57079632675     		φ = -1.11682246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75453846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.527649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11682246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.989213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102137 KachelY 96107 1.75453846 -1.11682246 100.527649 -63.989213
    Oben rechts KachelX + 1 102138 KachelY 96107 1.75458640 -1.11682246 100.530396 -63.989213
    Unten links KachelX 102137 KachelY + 1 96108 1.75453846 -1.11684348 100.527649 -63.990418
    Unten rechts KachelX + 1 102138 KachelY + 1 96108 1.75458640 -1.11684348 100.530396 -63.990418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11682246--1.11684348) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dl = 133.918419999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11682246--1.11684348) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dr = 133.918419999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75453846-1.75458640) × cos(-1.11682246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438540347133986 × 6371000     		do = 133.941510043167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75453846-1.75458640) × cos(-1.11684348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438521456121332 × 6371000     		du = 133.935740241647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11682246)-sin(-1.11684348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438540347133986-0.438521456121332)×R²
    abs(1.75458640-1.75453846)×1.88910126542874e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88910126542874e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88910126542874e-05×40589641000000     		ar = 17936.8490567004m²