Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102136 / 99624
↖ ↑ ↗
← S 67.916882°
E100.524903°		 ← 114.80 m → S 67.916882°
E100.527649°		 →
↑
114.81 m
↓
↑
114.81 m
↓
S 67.917914°
E100.524903°		 ← 114.80 m →
13 180 m²		 S 67.917914°
E100.527649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779239654541016 y=0.760074615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779239654541016 × 217)
    floor (0.779239654541016 × 131072)
    floor (102136.5)     		tx = 102136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760074615478516 × 217)
    floor (0.760074615478516 × 131072)
    floor (99624.5)     		ty = 99624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102136 / 99624 ti = "17/102136/99624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102136/99624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102136 ÷ 217
    102136 ÷ 131072     		x = 0.77923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99624 ÷ 217
    99624 ÷ 131072     		y = 0.76007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.5201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63407303424847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75449053} λ = 1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63407303424847))-π/2
    2×atan(0.195133169254366)-π/2
    2×0.192711565239363-π/2
    0.385423130478725-1.57079632675     		φ = -1.18537320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18537320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.916882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102136 KachelY 99624 1.75449053 -1.18537320 100.524903 -67.916882
    Oben rechts KachelX + 1 102137 KachelY 99624 1.75453846 -1.18537320 100.527649 -67.916882
    Unten links KachelX 102136 KachelY + 1 99625 1.75449053 -1.18539122 100.524903 -67.917914
    Unten rechts KachelX + 1 102137 KachelY + 1 99625 1.75453846 -1.18539122 100.527649 -67.917914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18537320--1.18539122) × R
    1.8020000000174e-05 × 6371000     		dl = 114.805420001109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18537320--1.18539122) × R
    1.8020000000174e-05 × 6371000     		dr = 114.805420001109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75449053-1.75453846) × cos(-1.18537320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375951256366776 × 6371000     		do = 114.801238825279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75449053-1.75453846) × cos(-1.18539122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375934558263018 × 6371000     		du = 114.796139858419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18537320)-sin(-1.18539122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375951256366776-0.375934558263018)×R²
    abs(1.75453846-1.75449053)×1.66981037580394e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66981037580394e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66981037580394e-05×40589641000000     		ar = 13179.5117457409m²