Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102133 / 99619
↖ ↑ ↗
← S 67.911718°
E100.516663°		 ← 114.83 m → S 67.911718°
E100.519409°		 →
↑
114.81 m
↓
↑
114.81 m
↓
S 67.912750°
E100.516663°		 ← 114.82 m →
13 182 m²		 S 67.912750°
E100.519409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779216766357422 y=0.760036468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779216766357422 × 217)
    floor (0.779216766357422 × 131072)
    floor (102133.5)     		tx = 102133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760036468505859 × 217)
    floor (0.760036468505859 × 131072)
    floor (99619.5)     		ty = 99619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102133 / 99619 ti = "17/102133/99619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102133/99619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102133 ÷ 217
    102133 ÷ 131072     		x = 0.779212951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99619 ÷ 217
    99619 ÷ 131072     		y = 0.760032653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779212951660156 × 2 - 1) × π
    0.558425903320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75434672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760032653808594 × 2 - 1) × π
    -0.520065307617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63383334975037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75434672} λ = 1.75434672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63383334975037))-π/2
    2×atan(0.195179945255618)-π/2
    2×0.192756625087543-π/2
    0.385513250175086-1.57079632675     		φ = -1.18528308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75434672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.516663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18528308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.911718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102133 KachelY 99619 1.75434672 -1.18528308 100.516663 -67.911718
    Oben rechts KachelX + 1 102134 KachelY 99619 1.75439465 -1.18528308 100.519409 -67.911718
    Unten links KachelX 102133 KachelY + 1 99620 1.75434672 -1.18530110 100.516663 -67.912750
    Unten rechts KachelX + 1 102134 KachelY + 1 99620 1.75439465 -1.18530110 100.519409 -67.912750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18528308--1.18530110) × R
    1.8019999999952e-05 × 6371000     		dl = 114.805419999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18528308--1.18530110) × R
    1.8019999999952e-05 × 6371000     		dr = 114.805419999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75434672-1.75439465) × cos(-1.18528308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376034763586382 × 6371000     		do = 114.826738759378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75434672-1.75439465) × cos(-1.18530110) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37601806609321 × 6371000     		du = 114.821639978967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18528308)-sin(-1.18530110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376034763586382-0.37601806609321)×R²
    abs(1.75439465-1.75434672)×1.66974931728459e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66974931728459e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66974931728459e-05×40589641000000     		ar = 13182.4392869006m²