Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102131 / 97619
↖ ↑ ↗
← S 65.752067°
E100.511169°		 ← 125.43 m → S 65.752067°
E100.513916°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
S 65.753195°
E100.511169°		 ← 125.43 m →
15 735 m²		 S 65.753195°
E100.513916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779201507568359 y=0.744777679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779201507568359 × 217)
    floor (0.779201507568359 × 131072)
    floor (102131.5)     		tx = 102131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744777679443359 × 217)
    floor (0.744777679443359 × 131072)
    floor (97619.5)     		ty = 97619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102131 / 97619 ti = "17/102131/97619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102131/97619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102131 ÷ 217
    102131 ÷ 131072     		x = 0.779197692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97619 ÷ 217
    97619 ÷ 131072     		y = 0.744773864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779197692871094 × 2 - 1) × π
    0.558395385742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75425084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744773864746094 × 2 - 1) × π
    -0.489547729492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.53795955051026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75425084} λ = 1.75425084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53795955051026))-π/2
    2×atan(0.214818981820483)-π/2
    2×0.211603133269808-π/2
    0.423206266539617-1.57079632675     		φ = -1.14759006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75425084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.511169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14759006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.752067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102131 KachelY 97619 1.75425084 -1.14759006 100.511169 -65.752067
    Oben rechts KachelX + 1 102132 KachelY 97619 1.75429878 -1.14759006 100.513916 -65.752067
    Unten links KachelX 102131 KachelY + 1 97620 1.75425084 -1.14760975 100.511169 -65.753195
    Unten rechts KachelX + 1 102132 KachelY + 1 97620 1.75429878 -1.14760975 100.513916 -65.753195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14759006--1.14760975) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14759006--1.14760975) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75425084-1.75429878) × cos(-1.14759006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410685958876791 × 6371000     		do = 125.434062897471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75425084-1.75429878) × cos(-1.14760975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4106680059108 × 6371000     		du = 125.428579599548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14759006)-sin(-1.14760975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410685958876791-0.4106680059108)×R²
    abs(1.75429878-1.75425084)×1.79529659910527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79529659910527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79529659910527e-05×40589641000000     		ar = 15734.7308401146m²