Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102130 / 99615
↖ ↑ ↗
← S 67.907586°
E100.508423°		 ← 114.87 m → S 67.907586°
E100.511169°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.908619°
E100.508423°		 ← 114.87 m →
13 195 m²		 S 67.908619°
E100.511169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779193878173828 y=0.760005950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779193878173828 × 217)
    floor (0.779193878173828 × 131072)
    floor (102130.5)     		tx = 102130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760005950927734 × 217)
    floor (0.760005950927734 × 131072)
    floor (99615.5)     		ty = 99615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102130 / 99615 ti = "17/102130/99615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102130/99615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102130 ÷ 217
    102130 ÷ 131072     		x = 0.779190063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99615 ÷ 217
    99615 ÷ 131072     		y = 0.760002136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779190063476562 × 2 - 1) × π
    0.558380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75420290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760002136230469 × 2 - 1) × π
    -0.520004272460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63364160215189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75420290} λ = 1.75420290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63364160215189))-π/2
    2×atan(0.195217374129726)-π/2
    2×0.192792680172181-π/2
    0.385585360344362-1.57079632675     		φ = -1.18521097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75420290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.508423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18521097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.907586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102130 KachelY 99615 1.75420290 -1.18521097 100.508423 -67.907586
    Oben rechts KachelX + 1 102131 KachelY 99615 1.75425084 -1.18521097 100.511169 -67.907586
    Unten links KachelX 102130 KachelY + 1 99616 1.75420290 -1.18522900 100.508423 -67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 102131 KachelY + 1 99616 1.75425084 -1.18522900 100.511169 -67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18521097--1.18522900) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dl = 114.869130000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18521097--1.18522900) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dr = 114.869130000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75420290-1.75425084) × cos(-1.18521097) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376101580135312 × 6371000     		do = 114.871103428454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75420290-1.75425084) × cos(-1.18522900) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376084873864947 × 6371000     		du = 114.866000903465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18521097)-sin(-1.18522900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376101580135312-0.376084873864947)×R²
    abs(1.75425084-1.75420290)×1.67062703646526e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67062703646526e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67062703646526e-05×40589641000000     		ar = 13194.8506520749m²