Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102130 / 97622
↖ ↑ ↗
← S 65.755451°
E100.508423°		 ← 125.42 m → S 65.755451°
E100.511169°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.756579°
E100.508423°		 ← 125.41 m →
15 725 m²		 S 65.756579°
E100.511169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779193878173828 y=0.744800567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779193878173828 × 217)
    floor (0.779193878173828 × 131072)
    floor (102130.5)     		tx = 102130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744800567626953 × 217)
    floor (0.744800567626953 × 131072)
    floor (97622.5)     		ty = 97622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102130 / 97622 ti = "17/102130/97622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102130/97622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102130 ÷ 217
    102130 ÷ 131072     		x = 0.779190063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97622 ÷ 217
    97622 ÷ 131072     		y = 0.744796752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779190063476562 × 2 - 1) × π
    0.558380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75420290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744796752929688 × 2 - 1) × π
    -0.489593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53810336120912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75420290} λ = 1.75420290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53810336120912))-π/2
    2×atan(0.214788090773864)-π/2
    2×0.211573604688448-π/2
    0.423147209376895-1.57079632675     		φ = -1.14764912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75420290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.508423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14764912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.755451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102130 KachelY 97622 1.75420290 -1.14764912 100.508423 -65.755451
    Oben rechts KachelX + 1 102131 KachelY 97622 1.75425084 -1.14764912 100.511169 -65.755451
    Unten links KachelX 102130 KachelY + 1 97623 1.75420290 -1.14766880 100.508423 -65.756579
    Unten rechts KachelX + 1 102131 KachelY + 1 97623 1.75425084 -1.14766880 100.511169 -65.756579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14764912--1.14766880) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dl = 125.381279999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14764912--1.14766880) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dr = 125.381279999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75420290-1.75425084) × cos(-1.14764912) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.410632108619193 × 6371000     		do = 125.417615643276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75420290-1.75425084) × cos(-1.14766880) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.410614164293752 × 6371000     		du = 125.4121349844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14764912)-sin(-1.14766880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410632108619193-0.410614164293752)×R²
    abs(1.75425084-1.75420290)×1.79443254403333e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79443254403333e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79443254403333e-05×40589641000000     		ar = 15724.6775981857m²