Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10213 / 2155
↖ ↑ ↗
← N 78.720615°
E 44.406738°		 ← 477.89 m → N 78.720615°
E 44.428711°		 →
↑
478.02 m
↓
↑
478.02 m
↓
N 78.716316°
E 44.406738°		 ← 478.07 m →
228 482 m²		 N 78.716316°
E 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623382568359375 y=0.131561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623382568359375 × 214)
    floor (0.623382568359375 × 16384)
    floor (10213.5)     		tx = 10213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131561279296875 × 214)
    floor (0.131561279296875 × 16384)
    floor (2155.5)     		ty = 2155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10213 / 2155 ti = "14/10213/2155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10213/2155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10213 ÷ 214
    10213 ÷ 16384     		x = 0.62335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2155 ÷ 214
    2155 ÷ 16384     		y = 0.13153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    0.2467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77504379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13153076171875 × 2 - 1) × π
    0.7369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31516050405023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77504379} λ = 0.77504379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31516050405023))-π/2
    2×atan(10.1265481403039)-π/2
    2×1.47236512093748-π/2
    2.94473024187496-1.57079632675     		φ = 1.37393392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77504379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37393392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.720615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10213 KachelY 2155 0.77504379 1.37393392 44.406738 78.720615
    Oben rechts KachelX + 1 10214 KachelY 2155 0.77542729 1.37393392 44.428711 78.720615
    Unten links KachelX 10213 KachelY + 1 2156 0.77504379 1.37385889 44.406738 78.716316
    Unten rechts KachelX + 1 10214 KachelY + 1 2156 0.77542729 1.37385889 44.428711 78.716316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37393392-1.37385889) × R
    7.5030000000087e-05 × 6371000     		dl = 478.016130000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37393392-1.37385889) × R
    7.5030000000087e-05 × 6371000     		dr = 478.016130000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77504379-0.77542729) × cos(1.37393392) × R
    0.000383499999999981 × 0.19559330770683 × 6371000     		do = 477.888923463958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77504379-0.77542729) × cos(1.37385889) × R
    0.000383499999999981 × 0.195666887958985 × 6371000     		du = 478.068700512074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37393392)-sin(1.37385889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19559330770683-0.195666887958985)×R²
    abs(0.77542729-0.77504379)×7.35802521553142e-05×R²
    0.000383499999999981×7.35802521553142e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.35802521553142e-05×40589641000000     		ar = 228481.58203643m²