Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10213 / 2139
↖ ↑ ↗
← N 78.789172°
E 44.406738°		 ← 475.02 m → N 78.789172°
E 44.428711°		 →
↑
475.15 m
↓
↑
475.15 m
↓
N 78.784899°
E 44.406738°		 ← 475.20 m →
225 749 m²		 N 78.784899°
E 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623382568359375 y=0.130584716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623382568359375 × 214)
    floor (0.623382568359375 × 16384)
    floor (10213.5)     		tx = 10213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130584716796875 × 214)
    floor (0.130584716796875 × 16384)
    floor (2139.5)     		ty = 2139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10213 / 2139 ti = "14/10213/2139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10213/2139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10213 ÷ 214
    10213 ÷ 16384     		x = 0.62335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2139 ÷ 214
    2139 ÷ 16384     		y = 0.13055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    0.2467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77504379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13055419921875 × 2 - 1) × π
    0.7388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3212964272016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77504379} λ = 0.77504379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3212964272016))-π/2
    2×atan(10.1888748819823)-π/2
    2×1.47296339173628-π/2
    2.94592678347257-1.57079632675     		φ = 1.37513046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77504379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37513046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.789172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10213 KachelY 2139 0.77504379 1.37513046 44.406738 78.789172
    Oben rechts KachelX + 1 10214 KachelY 2139 0.77542729 1.37513046 44.428711 78.789172
    Unten links KachelX 10213 KachelY + 1 2140 0.77504379 1.37505588 44.406738 78.784899
    Unten rechts KachelX + 1 10214 KachelY + 1 2140 0.77542729 1.37505588 44.428711 78.784899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37513046-1.37505588) × R
    7.45800000001573e-05 × 6371000     		dl = 475.149180001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37513046-1.37505588) × R
    7.45800000001573e-05 × 6371000     		dr = 475.149180001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77504379-0.77542729) × cos(1.37513046) × R
    0.000383499999999981 × 0.194419739025548 × 6371000     		do = 475.021568336709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77504379-0.77542729) × cos(1.37505588) × R
    0.000383499999999981 × 0.194492895381245 × 6371000     		du = 475.200309687721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37513046)-sin(1.37505588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194419739025548-0.194492895381245)×R²
    abs(0.77542729-0.77504379)×7.31563556962966e-05×R²
    0.000383499999999981×7.31563556962966e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.31563556962966e-05×40589641000000     		ar = 225748.57318698m²