Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102129 / 99614
↖ ↑ ↗
← S 67.906553°
E100.505676°		 ← 114.85 m → S 67.906553°
E100.508423°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.907586°
E100.505676°		 ← 114.85 m →
13 193 m²		 S 67.907586°
E100.508423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779186248779297 y=0.759998321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779186248779297 × 217)
    floor (0.779186248779297 × 131072)
    floor (102129.5)     		tx = 102129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759998321533203 × 217)
    floor (0.759998321533203 × 131072)
    floor (99614.5)     		ty = 99614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102129 / 99614 ti = "17/102129/99614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102129/99614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102129 ÷ 217
    102129 ÷ 131072     		x = 0.779182434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99614 ÷ 217
    99614 ÷ 131072     		y = 0.759994506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779182434082031 × 2 - 1) × π
    0.558364868164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75415497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759994506835938 × 2 - 1) × π
    -0.519989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63359366525227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75415497} λ = 1.75415497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63359366525227))-π/2
    2×atan(0.195226732469697)-π/2
    2×0.192801694944311-π/2
    0.385603389888621-1.57079632675     		φ = -1.18519294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75415497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.505676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18519294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.906553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102129 KachelY 99614 1.75415497 -1.18519294 100.505676 -67.906553
    Oben rechts KachelX + 1 102130 KachelY 99614 1.75420290 -1.18519294 100.508423 -67.906553
    Unten links KachelX 102129 KachelY + 1 99615 1.75415497 -1.18521097 100.505676 -67.907586
    Unten rechts KachelX + 1 102130 KachelY + 1 99615 1.75420290 -1.18521097 100.508423 -67.907586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18519294--1.18521097) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18519294--1.18521097) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75415497-1.75420290) × cos(-1.18519294) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.376118286283413 × 6371000     		do = 114.852243419162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75415497-1.75420290) × cos(-1.18521097) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.376101580135312 × 6371000     		du = 114.847141995865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18519294)-sin(-1.18521097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376118286283413-0.376101580135312)×R²
    abs(1.75420290-1.75415497)×1.67061481010644e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.67061481010644e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.67061481010644e-05×40589641000000     		ar = 13192.6842824734m²