Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102128 / 99184
↖ ↑ ↗
← S 67.458082°
E100.502930°		 ← 117.09 m → S 67.458082°
E100.505676°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
S 67.459135°
E100.502930°		 ← 117.08 m →
13 711 m²		 S 67.459135°
E100.505676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779178619384766 y=0.756717681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779178619384766 × 217)
    floor (0.779178619384766 × 131072)
    floor (102128.5)     		tx = 102128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756717681884766 × 217)
    floor (0.756717681884766 × 131072)
    floor (99184.5)     		ty = 99184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102128 / 99184 ti = "17/102128/99184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102128/99184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102128 ÷ 217
    102128 ÷ 131072     		x = 0.7791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99184 ÷ 217
    99184 ÷ 131072     		y = 0.7567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61298079841565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75410703} λ = 1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61298079841565))-π/2
    2×atan(0.199292676526762)-π/2
    2×0.19671534870564-π/2
    0.39343069741128-1.57079632675     		φ = -1.17736563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17736563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.458082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102128 KachelY 99184 1.75410703 -1.17736563 100.502930 -67.458082
    Oben rechts KachelX + 1 102129 KachelY 99184 1.75415497 -1.17736563 100.505676 -67.458082
    Unten links KachelX 102128 KachelY + 1 99185 1.75410703 -1.17738401 100.502930 -67.459135
    Unten rechts KachelX + 1 102129 KachelY + 1 99185 1.75415497 -1.17738401 100.505676 -67.459135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17736563--1.17738401) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17736563--1.17738401) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75410703-1.75415497) × cos(-1.17736563) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383359254100134 × 6371000     		do = 117.087783869847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75410703-1.75415497) × cos(-1.17738401) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383342278280094 × 6371000     		du = 117.082599017449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17736563)-sin(-1.17738401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383359254100134-0.383342278280094)×R²
    abs(1.75415497-1.75410703)×1.69758200396219e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69758200396219e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69758200396219e-05×40589641000000     		ar = 13710.5564915712m²